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Ch22 数据与统计

Statistics · 用数字描述数据的特征

🎮 统计量：数据的"指纹"

均值、方差、相关性揭示数据本质

🎛️ 选择数据集

均值 μ

(4.0, 5.0)

标准差 σ

(1.41, 1.41)

协方差 Cov

2.00

🎮 均值与质心

μ = (1/n) Σᵢ x⁽ⁱ⁾ — 数据的"重心"

可视化选项

显示质心显示到质心的连线

计算过程

μₓ = (2 + 3 + 4 + 2.5 + 3.5) / 5

= 3.00

μᵧ = (3 + 4 + 3.5 + 2.5 + 3) / 5

= 3.20

质心 μ

(3.00, 3.20)

样本数 n

矩阵表示

μ = (1/n) Xᵀ1ₙ

1ₙ = [1, 1, ..., 1]ᵀ 是全1向量

几何意义

• 质心是所有点的"平衡点"

• 各点到质心的向量之和为零

• 质心最小化到所有点的距离平方和

数据点

质心

应用：K-Means 聚类中，每个簇的中心就是该簇所有点的质心。

22.2 方差与标准差

🎯 目标：理解方差 σ² = E[(X-μ)²] 度量数据的离散程度

🎮 方差与标准差

σ² = (1/n) Σᵢ (xᵢ - μ)² — 数据的离散程度

数据分散程度: 1.0x

集中分散

方差 σ²

1.156

标准差 σ

1.075

计算过程

μ = 2.00

σ² = Σ(xᵢ - μ)² / n

= 1.156

σ = √σ² = 1.075

几何意义

• 方差 = 点到均值的平方距离的平均

• 标准差 = 方差的平方根，单位与数据相同

• 方差越大，数据越分散

向量范数视角

σ² = ‖x̃‖² / n

x̃ = 中心化数据

黄色区域 = μ ± σ 范围（约68%数据）

统计意义：对于正态分布，约68%数据在 μ±σ 内，95%在 μ±2σ 内，99.7%在 μ±3σ 内。

22.3 协方差

🎯 目标：理解 Cov(X,Y) = E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)] 度量两变量的联合变化

🎮 协方差与相关性

Cov(X,Y) = (1/n) Σᵢ (xᵢ-μₓ)(yᵢ-μᵧ)

目标相关性: 0.8

负相关无相关正相关

协方差

1.021

Cov(X,Y)

🎮 协方差矩阵

Σ = (1/n) X̃ᵀX̃ — 特征间的相关结构