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Ch02 向量运算

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Ch01 不止向量

Vector and More · 数据的通用语言

🎮 先来思考一个问题

数据无处不在，如何表示它们？

🌸 场景一：描述一朵花

这朵鸢尾花有 4 个测量值：花萼长 5.1cm、花萼宽 3.5cm、花瓣长 1.4cm、花瓣宽 0.2cm。如何用一个数学对象表示它？

开篇

刚才的游戏告诉我们：向量无处不在

花的测量值、屏幕颜色、GPS 位置——它们都是向量。

向量是机器学习的基础语言：数据用向量表示，模型用向量计算，结果用向量输出。

1.1 向量基础

🎯 目标：理解向量的两种表示——箭头和数组

🎮 向量基础

向量 = 有方向的量，用箭头表示

调节向量分量

x 分量 = 3

y 分量 = 2

向量表示

v = [3, 2]ᵀ

模长 ‖v‖

3.61

= √(x² + y²)

方向角 θ

33.7°

= atan2(y, x)

向量的两种理解

• 几何：有方向和大小的箭头

• 代数：有序数组 [x, y]ᵀ

• 物理：位移、速度、力

• 数据：一个样本的多个特征

分量的意义

x = 3：水平方向投影

y = 2：垂直方向投影

v = 3·e₁ + 2·e₂

蓝色箭头 = 向量 v，绿色 = x分量，黄色 = y分量

核心思想：向量是线性代数的基本对象，它连接了代数（数组）与几何（箭头）。

1.2 数据与矩阵

🎯 目标：理解数据矩阵的行向量（样本）和列向量（特征）

🎮 行向量 vs 列向量

矩阵的两种视角：样本 vs 特征

选择视角

选择样本

行向量 x⁽1⁾

[5.1, 3.5, 1.4]

一个样本的所有特征值

矩阵维度

X ∈ ℝⁿˣᵈ

n = 4 样本，d = 3 特征

行向量的意义

• 每行 = 一个数据点/样本

• 行数 n = 样本数量

• 行向量维度 = 特征数

• 常用于：数据可视化、聚类

数据矩阵 X

行向量：横向读取

数据科学视角：行向量是"样本空间"的点，列向量是"特征空间"的坐标。

1.3 RGB 颜色向量

🎯 目标：体验向量在日常生活中的应用——颜色就是 3 维向量

🎮 RGB 颜色向量

每种颜色 = 三维向量 [R, G, B]ᵀ

调节 RGB 分量

R = 100

G = 150

B = 200

预设颜色

当前颜色

rgb(100, 150, 200)

颜色向量

c = [100, 150, 200]ᵀ

‖c‖ = 269.3 / 441.7

向量运算示例

• 颜色混合 = 向量加法

• 变亮/变暗 = 标量乘法

• 颜色相似度 = 余弦相似度

• 色差 = 向量距离

RGB 三维颜色空间

颜色空间是 [0,255]³ 的立方体

生活中的向量：RGB 颜色、GPS 坐标、股票价格序列...数据无处不在，向量无处不在。

1.4 线性组合

🎯 目标：理解任意向量 = 基向量的加权和，系数就是坐标

🎮 线性组合

v = c₁e₁ + c₂e₂ — 向量的加权和

调节系数

c₁ = 1.0× e₁

c₂ = 1.0× e₂

线性组合

v = 1.0·e₁ + 1.0·e₂

= [1.0, 1.0]ᵀ

基向量 e₁

[1, 0]ᵀ

水平方向

基向量 e₂

[0, 1]ᵀ

垂直方向

线性组合的意义

• c₁, c₂ 是坐标（在 e₁, e₂ 基下）

• 任意 2D 向量都是 e₁, e₂ 的线性组合

• 基向量不同 → 坐标不同

• 线性组合张成整个平面

特殊情况

• c₁=c₂=0: 零向量

• c₂=0: 沿 e₁ 方向

• c₁=0: 沿 e₂ 方向

黄色向量 = 蓝色 + 绿色（平行四边形法则）

核心概念：线性组合是线性代数的基石，投影、变换、方程求解都基于此。

🔬 实验：探索鸢尾花数据

🎯 目标：观察真实数据（150 朵花 × 4 个特征）如何分布

鸢尾花数据散点图

选择 X/Y 轴特征，观察 150 个样本在不同特征组合下的分布

X 轴

Y 轴

🔬 实验：数据投影

🎯 目标：理解投影——把高维数据「压扁」到低维

单方向投影

调节方向 θ，将数据投影到该方向，查看投影坐标分布与平均误差

方向 θ (°)30°

平均误差（到投影线垂距）：0.345

1.5 质心与去均值

🎯 目标：理解质心（数据重心）和去均值（移到原点）

🎮 质心与去均值

μ = (1/n)Σxᵢ — 数据的重心

显示选项

显示质心去均值化（质心移到原点）

质心坐标

μ = [3.10, 3.41]ᵀ

= 所有点坐标的平均值

去均值公式

x̃ᵢ = xᵢ - μ

原始数据，质心偏离原点

去均值的作用

• 消除位置偏移，保留形状

• 简化协方差计算

• PCA、SVD 的前提步骤

• 使数据关于原点对称

质心的物理意义

若每个数据点有相同质量，质心就是整个"数据云"的重心。在质心处支撑，数据云会平衡。

原始数据，质心偏离原点

统计视角：质心是数据的"最佳代表点"，到所有点的距离平方和最小。

1.6 线性变换

🎯 目标：理解矩阵如何「变形」空间——方格变平行四边形

🎮 矩阵变换网格

矩阵 A 把方格变成平行四边形

预设变换

矩阵元素

a = 1.5

b = 0.5

c = 0.3

d = 1.2

矩阵 A

[1.5, 0.5]
[0.3, 1.2]

行列式

1.65

保持方向

几何解释

• 网格线仍然平行（保持线性）

• 原点不动（线性变换特性）

• |det| = 面积缩放因子

• det < 0: 镜像反转

红/绿箭头 = 标准基 e₁, e₂ 变换后的位置

核心洞察：矩阵 A 的列就是变换后的基向量，这决定了整个变换的几何效果。

🔬 实验：矩阵变换圆

🎯 目标：观察矩阵如何把圆变成椭圆

线性变换：2×2 矩阵

调节矩阵元素，观察基向量与网格变形

det = 1.06

本章小结

向量的多重身份

向量的五种视角：

代数：有序数组 [x₁, x₂, ...]ᵀ
几何：有方向的箭头
数据：一个样本的特征
空间：坐标点
变换：矩阵的输入/输出

核心公式：

数据矩阵 X：行是样本，列是特征
线性组合：v = c₁e₁ + c₂e₂
线性变换：y = Ax

📚 下一章：Ch02 向量运算