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Ch05 矩阵乘法

Matrix Multiplication · 线性代数最重要的运算

🎮 矩阵乘法能做什么？

线性代数中最重要的运算

🎮 场景一：游戏角色变换

角色先旋转 30°，再缩放 2 倍。如何用一次运算完成？

开篇

矩阵乘法无处不在

图形变换、神经网络、推荐系统、PageRank——它们的核心都是矩阵乘法。

5.1 向量内积

🎯 目标：理解 xᵀy = ‖x‖‖y‖cos θ，结果是标量

🎮 向量内积探索器

拖动滑块改变向量，观察内积和夹角的变化

向量 x

x₁ = 3x₂ = 1

向量 y

y₁ = 1y₂ = 3

内积 x·y

6.0

夹角 θ

53.1°

x·y = ‖x‖·‖y‖·cos(θ) = 3.16 × 3.16 × 0.60

↗ 两向量方向相近（锐角）

5.2 向量外积

🎯 目标：理解 xyᵀ 生成秩-1 矩阵

🎮 向量外积构建器

调整向量 x 和 y，观察外积矩阵 xyᵀ 如何生成

列向量 x (3×1)

x1 = 1x2 = 2x3 = 3

行向量 yᵀ (1×2)

y1 = 4y2 = 5

🔍 观察秩1特性

第1行 / 第2行 = 0.50

第2行 / 第3行 = 0.67

每行都是第一行的倍数 → 秩 = 1

⊗

yᵀ

xyᵀ (3×2)

计算过程：每个元素 = x的元素 × y的元素

[1,1]: 1 × 4 = 4

[1,2]: 1 × 5 = 5

[2,1]: 2 × 4 = 8

[2,2]: 2 × 5 = 10

[3,1]: 3 × 4 = 12

[3,2]: 3 × 5 = 15

5.3 矩阵乘向量

🎯 目标：理解 y = Ax 是线性变换

🎮 矩阵-向量乘法变换器

调整矩阵 A 和输入向量 x，观察输出 y = Ax 的变化

变换矩阵 A

a = 1.0

c = -0.5

b = 0.5

d = 1.0

A = [1.0, -0.5; 0.5, 1.0]

输入向量 x

x₁ = 2.0

x₂ = 1.0

输出向量 y = Ax

y₁

1.50

y₂

2.00

y = 2.0·[1.0, 0.5]ᵀ + 1.0·[-0.5, 1.0]ᵀ

💡 理解：矩阵的两列 Ae₁ 和 Ae₂ 告诉我们基向量被映射到哪里。输出 y = x₁·(Ae₁) + x₂·(Ae₂)，即输入向量的系数不变，但基向量改变了。

5.4 矩阵乘矩阵

🎯 目标：理解 Cᵢⱼ = A的第i行 · B的第j列

🎮 矩阵乘法逐步计算器

点击结果矩阵的任意元素，查看它是如何计算出来的

矩阵 A

矩阵 B

结果 C = A×B（点击元素）

计算 C[1,1]= A 的第 1 行 · B 的第 1 列

[1, 2]

[5][7]

c₁₁ = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19

🔬 实验：矩阵乘法探索

🎯 目标：自定义矩阵，观察乘法结果

cᵢⱼ = 行 · 列

选择行 i 与列 j，观察单元格如何由点积获得

行 i (0-based)

列 j (0-based)

形状：A 3×3 · B 3×3 → C 3×3

c[0,0] = -0.77

🔬 实验：乘积热力图

🎯 目标：可视化数值模式

矩阵乘积热力图

调整维度 m×k 与 k×n，观察乘积模式

5.5 变换的复合

🎯 目标：理解 AB 表示先 B 后 A（从右往左读）

🎮 变换复合演示器

观察 AB 如何表示"先 B 后 A"的变换顺序

变换 B（先执行）

变换 A（后执行）

动画步骤

📐 变换顺序

1原始正方形

2先做 B: 缩放1.5×

3再做 A: 旋转45°

!结果 = AB（矩阵乘法）

💡 关键理解：矩阵乘法 AB 表示先做 B，再做 A（从右往左读）。这是因为 (AB)x = A(Bx)，向量 x 先被 B 变换，结果再被 A 变换。

5.6 矩阵与统计

🎯 目标：用矩阵语言表达求和、均值、方差

本章小结

矩阵乘法速查

乘法形态：

内积 xᵀy → 标量（相似度）
外积 xyᵀ → 秩-1 矩阵
Ax → 线性变换
AB → 变换复合

核心规则：

形状兼容：(m×k) × (k×n) = (m×n)
AB ≠ BA（不可交换）
(AB)x = A(Bx)（从右往左）

📚 下一章：Ch06 特殊矩阵