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Ch20 二次曲线

Conic Sections · 矩阵特征值决定曲线形状

🎮 二次曲线：矩阵决定形状

调参数，看曲线变形！

🎛️ 二次型系数

2.0x² +0.0xy +1.0y² = 1

a (x² 系数)2.0

b (xy 系数)0.0

c (y² 系数)1.0

判别式 Δ = b²-4ac

-8.00

曲线类型

⭕ 椭圆

特征值 λ₁

2.00

特征值 λ₂

1.00

💡 判别规则

• Δ < 0 → 椭圆（λ₁, λ₂ 同号）

• Δ = 0 → 抛物线（退化）

• Δ > 0 → 双曲线（λ₁, λ₂ 异号）

开篇

二次型的几何就是二次曲线

🔵

圆

λ₁ = λ₂

⭕

椭圆

λ₁, λ₂ 同号

🌙

抛物线

Δ = 0

♾️

双曲线

λ₁, λ₂ 异号

20.1 二次型

🎯 目标：理解 xᵀAx = c 定义的曲线，A 的特征值决定形状

🎮 二次型可视化

Q(x,y) = ax² + 2bxy + cy² = xᵀAx

二次型参数

a = 2

b = 1

c = 2

矩阵形式

特征值 λ₁

3.00

特征值 λ₂

1.00

正定 (Positive Definite)

∀x≠0, Q(x) > 0，等值线是椭圆

主轴方向 = 特征向量方向

二次型与特征值：特征值全正=正定（碗状），全负=负定，异号=不定（马鞍），含零=退化。

20.2 判别式

🎯 目标：掌握 Δ = B²-4AC 判断曲线类型：负→椭圆，零→抛物线，正→双曲线

🎮 判别式与圆锥曲线类型

Δ = B² - 4AC 决定曲线形状

快速选择

方程参数

A = 1

B = 0

C = 1

1x² + 0xy + 1y² = 1

判别式 Δ = B² - 4AC

-4.00

◯

= 0² - 4×1×1 = 0 - 4

圆

Δ < 0，封闭曲线

分类规则

◯Δ < 0 → 椭圆/圆

⌒Δ = 0 → 抛物线

⌓Δ > 0 → 双曲线

几何意义：判别式决定圆锥曲线与渐近锥的关系——椭圆不相交，抛物线相切，双曲线相交。

20.3 坐标旋转

🎯 目标：理解旋转到主轴后消去交叉项 xy，得到标准形式

🎮 坐标旋转消去交叉项

旋转坐标轴使 xy 项系数变为 0

原始方程参数

A = 1

B = 2

C = 1

原方程

1x² + 2xy + 1y² = 1

标准形式

2.00x'² + 0.00y'² = 1

旋转角度 θ

45.0°

tan(2θ) = B/(A-C) = 2/0.0

判别式 Δ

0.00

B² - 4AC

曲线类型

抛物线

旋转变换

x = x'cos θ - y'sin θ
y = x'sin θ + y'cos θ

紫色虚线 = 旋转后的新坐标轴

核心思想：通过正交变换（旋转），将二次型化为标准形式，消去交叉项 xy。

20.4 矩阵与形状

🎯 目标：理解特征值的符号决定曲线开口方向

🎮 矩阵特征值与圆锥曲线

xᵀAx = 1，特征值决定形状

矩阵特征值

λ₁ = 2.0正

λ₂ = 1.0正

对角矩阵 Λ

2.0

1.0

椭圆

半轴: a=0.71, b=1.00

det(A)

2.00

tr(A)

3.00

离心率

0.71

特征值与形状规则

λ₁, λ₂ 同正 → 椭圆

λ₁, λ₂ 异号 → 双曲线

含零 → 抛物线/退化

λ₁ = λ₂ > 0 → 圆

半轴长度 = 1/√λ

核心关系：二次型 xᵀAx = 1 的几何形状完全由 A 的特征值决定。正定→椭圆，不定→双曲线。

20.5 离心率

🎯 目标：理解离心率 e 如何统一描述圆锥曲线族

🎮 离心率与曲线形状

e = c/a 决定曲线的"扁"或"开"

离心率 e = 0.60

0 (圆)1 (抛物线)2

曲线类型

椭圆

形状

较扁的椭圆

e < 1

椭圆

e = 1

抛物线

e > 1

双曲线

离心率对照表

圆

e=0.5

e=0.8

e=1

e=1.5

天体轨道

• 地球: e ≈ 0.017（近圆）

• 火星: e ≈ 0.093

• 彗星: e 接近 1（抛物线逃逸）

• 系外物体: e > 1（双曲线轨道）

e 越大，曲线越"开"

物理意义：离心率决定轨道形状——e=0 是圆，0<e<1 是椭圆（束缚轨道），e≥1 是逃逸轨道。

本章小结

二次曲线是线性代数与几何的完美结合

判别规则

• Δ < 0：椭圆（含圆）

• Δ = 0：抛物线

• Δ > 0：双曲线

矩阵视角

• λ₁, λ₂ 同号正 → 椭圆

• λ₁, λ₂ 异号 → 双曲线

• det(A) = 0 → 退化

📚 下一章：Ch21 二次型与正定性