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Ch07 向量空间

Vector Space · 线性组合能到达哪里？

🎮 向量空间：能到达哪里？

线性组合的边界

🎛️ 调节系数，探索空间

c₁ (v₁ 的系数)1.0

c₂ (v₂ 的系数)0.5

1.0·v₁ + 0.5·v₂ = [2.5, 2.0]

💡 你发现了吗？

无论 c₁、c₂ 怎么调，结果向量只能在紫色区域内移动！

这个紫色区域就是 Span(v₁, v₂) —— v₁ 和 v₂ 的线性组合能「张成」的空间。

开篇

向量空间回答三个核心问题

🎯

能到达哪里？

Span（张成）

📐

最少需要几个？

基（Basis）

🔍

有冗余吗？

线性无关

7.1 线性组合

🎯 目标：理解 c₁v₁ + c₂v₂ + ... 的几何意义——缩放再相加

🎮 线性组合探索器

调整系数 α₁ 和 α₂，观察线性组合 α₁v₁ + α₂v₂ 如何变化

向量 v₁ = (2, 0)

x: y:

向量 v₂ = (0, 2)

x: y:

线性组合系数

α₁ = 1.0α₂ = 1.0

结果向量

1.0·(2, 0) + 1.0·(0, 2) = (2.0, 2.0)

💡 探索：尝试让 α₁ 和 α₂ 同时变化，打开轨迹模式，观察结果向量能覆盖哪些区域（这就是 Span！）

7.2 张成 (Span)

🎯 目标：理解 Span 是线性组合能到达的所有点，一个向量张成直线，两个不共线向量张成平面

🎮 Span 探索器

调整两个向量，观察它们的张成（Span）覆盖哪些区域

v₁ = (2.0, 1.0)

x: y:

v₂ = (1.0, 2.0)

x: y:

✅ 线性无关

span(v₁, v₂) = ℝ² (整个平面)

维度 = 2

快速预设

💡 理解：紫色区域就是 span(v₁, v₂)。如果两向量不共线，它们的线性组合能覆盖整个平面；如果共线，只能覆盖一条直线。

7.3 线性相关与无关

🎯 目标：判断向量组是否有冗余——相关意味着某向量可被其他向量表示

🎮 线性相关性测试器

调整三个向量，判断它们是否线性相关

v₁ = (1.0, 0.0, 0.0)

x:y:z:

v₂ = (0.0, 1.0, 0.0)

x:y:z:

v₃ = (1.0, 1.0, 0.0)

x:y:z:

⚠️ 线性相关det = 0.00

三向量共面（在 z=0 平面内）

xy 平面投影

💡 判断方法：将向量组成矩阵，计算行列式。det ≠ 0 → 线性无关；det = 0 → 线性相关。几何上，线性相关意味着向量共线或共面。

7.4 基与维度

🎯 目标：理解基 = 线性无关 + 张成整个空间，维度 = 基向量个数

🎮 基与坐标探索器

改变基向量，观察坐标系如何变化，以及同一点的坐标如何改变

基向量 e1′ = (1.0, 0.0)

x: y:

基向量 e2′ = (0.0, 1.0)

x: y:

目标点 P（标准坐标）= (3.0, 2.0)

x: y:

✅ 有效基（det = 1.00 ≠ 0）

P 在新基下的坐标：(3.00, 2.00)

P = 3.00·e₁′ + 2.00·e₂′

💡 核心理解：同一个点在不同基下有不同的坐标。基决定了"度量衡"。黄色网格是新基定义的坐标系，虚线显示了点 P 如何分解为基向量的线性组合。

7.5 矩阵的秩

🎯 目标：理解秩 = 列空间维度 = 行空间维度 = 最大线性无关组大小

🎮 矩阵秩探索器

修改矩阵元素，观察秩如何变化

输入矩阵 A（点击修改）

列向量用不同颜色标记

快速预设

矩阵的秩2

⚠️ 秩亏损 (最大可能 3)

• 列空间维度 = 2
• 零空间维度 = 1
• 列向量线性相关

列向量可视化（前两维投影）

秩 = 线性无关的列向量个数

💡 秩的意义：秩是矩阵的"有效维度"，等于列空间（或行空间）的维度。满秩矩阵的列向量线性无关，秩亏损意味着存在冗余。

7.6 四个基本子空间

🎯 目标：理解矩阵定义的四个子空间及其正交关系

🎮 四个基本子空间可视化

选择不同秩的矩阵，观察四个子空间的维度变化

矩阵 A (3×2)

rank(A) = 2

列空间 C(A)ℝ3

dim = 2

A的列向量张成

行空间 C(Aᵀ)ℝ2

dim = 2

A的行向量张成

零空间 N(A)ℝ2

dim = 0

Ax=0 的解集

左零空间 N(Aᵀ)ℝ3

dim = 1

Aᵀy=0 的解集

📐 维度关系定理

dim(C(A)) + dim(N(Aᵀ)) = m

2 + 1 = 3 ✓

dim(C(Aᵀ)) + dim(N(A)) = n

2 + 0 = 2 ✓

⊥ 正交关系

C(A)

⊥

N(Aᵀ)

在 ℝ3 中

C(Aᵀ)

⊥

N(A)

在 ℝ2 中

💡 理解：每个矩阵定义了四个子空间，它们的维度由秩决定，并且满足正交互补关系。

本章小结

向量空间是线性代数的舞台

概念链条

线性组合 → Span（能到达的所有点）

线性无关 → 无冗余（最少向量数）

基 = 无关 + 张成 → 唯一坐标

维度 = 基向量个数 → 自由度

四个子空间

列空间 C(A)：维度 = r

行空间 C(Aᵀ)：维度 = r

零空间 N(A)：维度 = n-r

左零空间 N(Aᵀ)：维度 = m-r

正交关系：行空间 ⊥ 零空间，列空间 ⊥ 左零空间

📚 下一章：Ch08 几何变换