📚 本章内容
本章介绍椭圆的数学定义和几何特性，包括标准椭圆、中心偏移的椭圆和旋转椭圆。 椭圆是圆锥曲线族的重要成员，在天文学、物理学和工程学中有广泛应用。
8.2 圆锥曲线
圆锥曲线是用一个平面切割圆锥面所得到的曲线。根据切平面与圆锥轴的相对位置关系，可以得到四种不同的圆锥曲线：
图2. 圆锥和对顶圆锥
Axis（轴）：圆锥的对称轴，贯穿顶点
Apex/Vertex（顶点）：圆锥的尖端
Generatrix（母线）：圆锥侧面的直线
Lateral surface（侧面）：圆锥的曲面
Base（底面）：圆锥的圆形底部
Directrix（准线）：底面圆周
切平面方程
通过调整切平面相对于圆锥轴的角度，可以得到不同的圆锥曲线。这四种曲线在数学和物理中都有重要应用。
统一方程
所有圆锥曲线都可以用二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示，通过判别式B²-4AC判断曲线类型。
8.3 正圆：特殊的椭圆
当椭圆的两个半轴相等时（a = b），椭圆退化为圆。圆是椭圆的特殊情况，也是最对称的圆锥曲线。
(a) 圆心在原点
其中，r为半径（radius）。圆周的所有点到圆心的距离为r。
(b) 圆心在(c₁, c₂)
圆心Center在(c₁, c₂)，半径为r。
参数方程表示
向量形式的点坐标
x₂ = r·sin(t) (4)
参数方程，t∈[0, 2π]
圆的其他表示
有理参数化表示
所有圆的参数方程都可以写成cos(t)和sin(t)的组合形式。
8.4 椭圆：机器学习的多面手
中心位于原点、长轴位于坐标轴上的标准椭圆，其方程为：
其中，a > b > 0
是指通过两焦点的轴，对应的半轴长度为2a。
垂直于长轴，对应的半轴长度为2b。
长度为a
长度为b
图7. 中心位于原点的椭圆
Vertex（顶点）、Focus（焦点）、Center（中心）、Major axis（长轴）、Minor axis（短轴）、Co-vertex（副顶点）
Semi-major axis（半长轴）、Semi-minor axis（半短轴）、Vertex（顶点）
矩阵形式
[0 1/b²]
如图8所示，椭圆可以看作正圆被拉伸（缩放）后的结果，这一几何变换在机器学习中对应特征空间的缩放变换。
8.5 旋转椭圆：几何变换的结果
椭圆旋转θ后，其方程仍为：
顺时针旋转θ后，得到方程：
图11. 旋转椭圆
Major axis（长轴）和Minor axis（短轴）旋转45度
继续旋转，展示不同角度的椭圆形状
举个例子
中心位于原点、长轴位于坐标轴上的正椭圆在旋转之前解析式为：
图13. 不同相关性系数ρ下的二元高斯分布PDF曲面和等高线
强负相关
弱负相关
无相关
弱正相关
强正相关
不同相关性系数下，等高线呈现不同倾斜角度的椭圆形状。
图14. 相关系数ρ不同时，数据点散点图关系
上一章简单提到马氏距离这个距离度量。如图15所示，马氏距离计算过程就是椭圆几何变换过程。
图15. 马氏距离计算过程
相关的椭圆形散点
中心化到原点
旋转主轴对齐
缩放成正圆
图16. 条件概率密度等高线
本书前文提到过一元线性回归，回归曲线由面图等高密度线的"中心线"决定，黑色斜线代表面图等高密度椭圆的长轴。
图17. 主成分分析
主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是机器学习中重要的降维算法。从几何角度来看，如图17所示，主成分分析实际上就是寻找椭圆的长轴。
在一些统计和数据类算法定的决策边界中，我们也可以看到椭圆及其他椭圆的故事。图18所示为高斯朴素贝叶斯类算法决定的决策边界。
图18. 高斯朴素贝叶斯类算法决定的决策边界
Setosa, C₁（红色）、Versicolor, C₂（蓝色）、Virginica, C₃（灰色）
图19. 高斯混合模型决定的决策边界
数据点根据椭圆形分布被聚类，每个簇呈现不同的椭圆形状。
多个椭圆高斯分布叠加，形成复杂的决策边界。
总而言之，椭圆在数据科学和机器学习这两个话题中有很多"戏份"，本系列丛书将为大家一一讲述这些有关椭圆的故事。因此，也请大家耐心学习本章和下一章内容。
8.6 抛物线：不止是函数
如图20 (a) 所示，顶点在原点，对称轴位于x₁轴，并且向上开口的抛物线解析式如下：
这条抛物线顶点在原点 (0, 0)，焦点（focus）位于 (0, p)，准线（directrix）位于 y = -p。当 p 小于 0 时，形如 (29) 抛物线开口朝下。
图20. 抛物线
Vertex（顶点）在原点，Focus（焦点）在 (0, p)，Directrix（准线）为 x₂ = -p
Vertex（顶点）在原点，Focus（焦点）在 (p, 0)，Directrix（准线）为 x₁ = -p
抛物线定义
平面上，抛物线上每一点与焦点之间距离等于点和准线之间距离。这一距离关系可以用来推导抛物线解析式。这种物线任意一点 (x₁, x₂)，该点与准线之间距离，如下式：
⇒ (x₂ + p)² = x₁² + (x₂-p)² (30)
⇒ 4px₂ = x₁²
图29 (b) 所示，顶点在原点，对称轴位于 x₁ 横轴，并且向右开口的抛物线解析式如下：
当 p 小于 0 时，形如 (31) 抛物线开口朝左。
图21. 四种抛物线
p > 0，开口向上
p > 0，开口向下
p > 0，开口向右
p > 0，开口向左
8.7 双曲线：引力弹弓的轨迹
图22 (a) 所示为，焦点位于横轴，顶点位于原点双曲线，对应解析式为：
如图22 (a) 所示，双曲线顶点位于原点，焦点位于 F₁ (-c, 0) 和 F₂ (c, 0)，c 可以通过下式计算得到：
双曲线上任意一点 P 到两个焦点 F₁ 和 F₂ 距离差值为 2a：
图22 (b) 所示为焦点位于纵轴双曲线，上下开口。这种双曲线标准方程如下：
图22. 两种标准双曲线形式
Focus F₁, F₂（焦点）在横轴，Asymptote（渐近线）
Focus F₁, F₂（焦点）在纵轴，Asymptote（渐近线）
渐近线、切线斜率
图22 (a) 所示双曲线的两条渐近线（asymptote）表达式如下：
图23 所示为左右开口双曲线左右各渐近线条分离线。变易发现，图23 切线斜率，要么大于 b/a，要么小于 -b/a。也就是说，切线在 (-∞, -b/a) 和 (b/a, ∞) 两个区间之内。
图23. 双曲线右侧线切线
Asymptote（渐近线）标注，展示双曲线的两条渐近线和切线方向
平移
双曲线中心也可以平移。比如将 (34) 所示双曲线中心平移至 (h, k)。得到的双曲线解析式如下：
(39) 对应双曲线的两条渐近线解析式如下：
圆锥曲线参数方程
表3 总结常见圆锥曲线参数方程。
表3. 常见圆锥曲线参数方程
x₁² + x₂² = r²
x₂ = r·sin(t)
x₂ = 2t/(1+t²)
(x₁-h)² + (x₂-k)² = r²
x₂ = k + r·sin(t)
x₁²/a² + x₂²/b² = 1
x₂ = b·sin(t)
x₂ = b·2t/(1+t²)
(x₁-h)²/a² + (x₂-k)²/b² = 1
x₂ = k + b·sin(t)
4px₂ = x₁², p > 0
x₂ = t²/(4p)
4px₁ = x₂², p > 0
x₂ = t
x₁²/a² - x₂²/b² = 1
x₂ = b·tan(t)
x₂ = b·2t/(1-t²)
x₂²/b² - x₁²/a² = 1
x₂ = b·sec(t)
x₂ = b·(1+t²)/(1-t²)
科技进步发展从来不是正道坦途、一帆风顺。这条道路颠簸曲折、荆棘密布，很多人甚至为之付出生命。
即便如此，科学思想一旦被提出，就像是一颗种子种在了人类思想的土壤中。这些种子们早晚会生根发芽，开花结果。圆锥曲线就是个很好的例子。
圆锥曲线提出千年以后，人们利用这个数学工具解密了天体运行规律。此后几百年，圆锥曲线就会助力人类飞出地球摇篮，探索无边的深空。
8.1 椭圆的标准方程
椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。 标准椭圆方程为：
椭圆探索器
交互式展示椭圆的标准形式、偏移和旋转
当前椭圆
椭圆类型
显示选项
动画控制
💡 椭圆方程
椭圆的变换
📍 中心偏移
通过改变(h, k)值，可以将椭圆中心移动到任意位置。
🔄 旋转变换
旋转椭圆会在方程中引入x₁x₂交叉项。
🧮 参数方程
椭圆也可以用参数方程表示，这在绘制和计算时更加方便：
章节总结
关键要点
核心概念
- ▸椭圆是到两个焦点距离之和为常数的点的集合
- ▸半长轴a和半短轴b决定椭圆的形状，a > b时水平拉伸
- ▸中心(h, k)控制椭圆在平面上的位置
- ▸旋转椭圆的方程包含交叉项x₁x₂
- ▸参数方程是绘制椭圆的便捷方法
🌌 应用场景
行星和卫星的轨道通常是椭圆形，遵循开普勒定律。
椭圆镜面可以聚焦光线，应用于望远镜和放大镜。
椭圆齿轮、椭圆弹簧等机械部件广泛使用椭圆形状。
椭圆形空间具有美观和结构优势，常用于大型建筑。