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📚 本章内容

本章深入探讨圆锥曲线的进阶性质，包括离心率变化、参数对曲线形状的影响、超椭圆（Lp空间）以及圆锥曲线的一般方程形式。

9.1

离心率

9.2-9.3

参数变化

9.4

超椭圆

9.5

一般形式

9.1 离心率

离心率e是描述圆锥曲线偏离圆形程度的重要参数。通过方程 y² - (e²-1)x² - 2x = 0，可以观察到随着e从0到3变化，曲线形状的演变过程。

方程形式:

y² - (e²-1)x² - 2x = 0

参数范围:

e ∈ [0, 3], 颜色渐变显示

离心率渐变动画

展示参数e从0到3变化时椭圆形状的演变

当前状态

椭圆方程:

y² - (e²-1)x² - 2x = 0

参数范围:

e ∈ [0, 3], 共31条曲线

颜色映射:

红色→黄色→蓝色渐变

显示选项

显示坐标轴显示参数标签

动画控制

进度: 0%

💡 离心率含义

• 离心率e：描述圆锥曲线偏离圆形的程度

• e = 0：圆形

• 0 < e < 1：椭圆

• e = 1：抛物线

• e > 1：双曲线

9.2 离心率：联系不同类型圆锥曲线

不同类型圆锥曲线可以通过离心率（eccentricity）e联系起来：

x₂² = 2px₁ + (e²-1)x₁², e ≥ 0 (1)

图3. 离心率变化条件下一组圆锥曲线

正圆的离心率 e = 0，椭圆的离心率 0 < e < 1，抛物线离心率 e = 1，双曲线离心率 e > 1。(1) 对应的这一组曲线共用 (0, 0) 这个顶点。

当 p = 1 时，离心率 e 取不同数值，可以得到如图 3 所示一组锥曲线。

离心率渐变动画

展示参数e从0到3变化时椭圆形状的演变

当前状态

椭圆方程:

y² - (e²-1)x² - 2x = 0

参数范围:

e ∈ [0, 3], 共31条曲线

颜色映射:

红色→黄色→蓝色渐变

显示选项

显示坐标轴显示参数标签

动画控制

进度: 0%

💡 离心率含义

• 离心率e：描述圆锥曲线偏离圆形的程度

• e = 0：圆形

• 0 < e < 1：椭圆

• e = 1：抛物线

• e > 1：双曲线

9.3 一组有趣的圆锥曲线

本节介绍一组有趣的圆锥曲线，解析式如下：

x₁²/m² + x₂²/n² - 2λx₁x₂/(mn) = 1 (2)

其中，m > 0，n > 0。

上式以某种形式同时"兼顾"首轴，x₁x₂ = 1 类抛物线，参数 ρ 可以认为调节双曲线或者椭圆。

图4. m = n = 1，不同 λ 值的四种情况

点 (±m, 0)、(0, ±n) 都是定 (2) 也就是这四个点在曲线上。

当 m ≈ n = 1 时，当 ρ ≈ 0，圆锥曲线以纵轴交。而且 |ρ| > 1 时，椭圆变成四部分。而如图 5 所示为六条曲线均为方正。

(a) 0 ≤ ρ ≤ 2

双曲线曲线族，中心在原点

(b) 0 ≤ ρ ≤ 1

椭圆曲线族变化

双曲线另一方向

(d) -1 ≤ ρ ≤ 0

形状越接近线段

特殊情况：退化为直线

当 m = n = 1 时，且 ρ = -1 时，(2) 也对应两条直线。

x - y = 1, x - y = -1 (4)

图6. m = 2, n = 1，圆锥曲线随 ρ 变化

图 6 所示为 m = 2，n = 1，圆锥曲线随 ρ 变化，ρ 的变化范围为 [-2, 2]。

(a) 0 ≤ ρ ≤ 2

双曲线族，ρ 从 0 增加到 2

(b) -2 ≤ ρ ≤ 0

双曲线另一方向变化

💡 Python代码参考：Bk3_Ch9_02.py 绘制图 4、图 5 和图 6 几幅图像。

9.4 特殊椭圆：和给定矩形相切

这一节，我们要在特殊条件约束下绘制椭圆。

给定如图 7 所示的三类矩形，假定它们的中心都位于原点。本节绘制和矩形四个边相切的椭圆。椭圆可以是正椭圆，也可以是旋转椭圆。

图7. m, n 为矩形的半边长

(a) 正方形

边长：2m × 2n

m = n 的情况

(b) 横向矩形

边长：2m × 2n

m > n 的情况

边长：2m × 2n

m < n 的情况

解析式推导

对上一节 (2) 稍作修改，得到如下解析式：

x₁²/m² + x₂²/n² - 2ρx₁x₂/(mn) = 1 - ρ² (5)

ρ 取值范围在 -1 和 1 之间。大家很快就会发现参数 ρ 影响椭圆的倾斜程度。

(5) 可以进一步写成：

1/(1-ρ²) · (x₁²/m² + x₂²/n² - 2ρx₁x₂/(mn)) = 1 (6)

如图 8 所示，以短形的中心为原点构建平面直角坐标系，容易计算到矩形和椭圆相切的切点 A、B、C、D 的坐标为：

A(m, ρn), B(ρm, n), C(-m, -ρn), D(-ρm, -n) (7)

⚠️

请大家格外注意 AC 连线，我们将在本系列丛书的条直线和条直线这条直线。

图8. 椭圆和矩形相切的四个切点

标注了四个切点 A、B、C、D 的位置，以及矩形的半边长 m 和 n

正椭圆

当 ρ = 0 时，椭圆为正椭圆，即，

x₁²/m² + x₂²/n² = 1 (8)

如图 9 所示，椭圆和矩形相切的四个切点 A、B、C、D 的坐标为：

A(m, 0), B(0, n), C(-m, 0), D(0, -n) (9)

图9. 当 ρ = 0 时，四个切点的位置

正椭圆情况下，四个切点分别位于矩形四条边的中点

线段

当 ρ = 1 时，椭圆退化为一条线段，对应解析式为：

x₁/m - x₂/n = 0 (10)

当 ρ = -1 时，椭圆也是一条线段：

x₁/m + x₂/n = 0 (11)

两种情况对应的图像为图 10。

图10. 当 ρ = ±1 时，椭圆退化成线段

两条对角线分别对应 ρ = 1 和 ρ = -1 的情况

旋转椭圆

图 11 所示为，当 m = n，椭圆形状随参数 ρ 变化。当 ρ 靠近 0 时，椭圆形状越接近正圆；ρ 的绝对值越靠近 1，椭圆越扁，形状越接近线段。此外，请大家格外关注切点位置随 ρ 如何移动。

图11. m = n 时，和给定正方形相切椭圆

(a) -1 < ρ ≤ 0

椭圆从线段逐渐变圆，逆时针旋转方向

(b) 0 ≤ ρ < 1

椭圆从圆形逐渐变扁，顺时针旋转方向

图 12 和图 13 分别展示 m > n 和 m < n 两种情况条件下，椭圆形状随 ρ 变化。

图12. m > n 时，和给定矩形相切椭圆

(a) -1 < ρ ≤ 0

椭圆形状变化

(b) 0 ≤ ρ < 1

椭圆形状变化

图13. m < n 时，和给定矩形相切椭圆

(a) -1 < ρ ≤ 0

椭圆形状变化

(b) 0 < ρ < 1

椭圆形状变化

二元高斯分布

我们之所以讨论这种特殊族的椭圆，是因为它和二元高斯分布（bivariate Gaussian distribution）的概率密度函数数据集密度相关。二元高斯分布的概率密度函数 f_X,Y(x,y) 解析式如下：

f_X,Y(x,y) = 1/(2πσ_Xσ_Y√(1-ρ²_XY)) × exp[-1/(2(1-ρ²_XY)) × ((x-μ_X)/σ_X)² - 2ρ_XY((x-μ_X)/σ_X)((y-μ_Y)/σ_Y) + ((y-μ_Y)/σ_Y)²]

(12)

其中，μ_X 和 μ_Y 分别为随机变量 X、Y 的期望值。σ_X 和 σ_Y 分别为随机变量 X、Y 的方差；ρ_XY 为 X 和 Y 线性相关系数，取值区间为 (-1, 1)。

相信大家已经 (12) 看到了 (6)。

超椭圆与Lp空间

超椭圆是Lp度量空间的可视化，通过改变参数p和q，可以得到从星形到方形的各种形状。当p=q=2时，就是我们熟悉的欧几里得距离对应的圆形。

(|x₁/a|^p + |x₂/b|^q)^(1/q) = 1

p,q=0.5: 星形

p,q=1: 菱形

p,q=2: 圆形

p,q=3: 方形

超椭圆与Lp空间

探索不同p和q参数下的Lp度量空间形状

Lp度量

(|x₁/a|^p + |x₂/b|^q)^(1/q) = 1

参数p和q决定空间形状

视图模式

参数 p: 2

参数 q: 2

动画控制

进度: 0%

🔢 形状特征

• p, q = 0.5：星形，凹陷

• p, q = 1：菱形（L₁范数）

• p, q = 2：圆形（L₂范数，欧几里得距离）

• p, q = 3：方形，边缘更平直

• p, q → ∞：正方形（L∞范数）

9.5 圆锥曲线的一般形式

圆锥曲线的一般方程可以表示为 Ax₁² + Bx₁x₂ + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0。通过判别式 B²-4AC 的值，可以判断曲线类型。

Ax₁² + Bx₁x₂ + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0

B²-4AC < 0

椭圆或圆

B²-4AC = 0

抛物线

B²-4AC > 0

双曲线

圆锥曲线族

一般形式 Ax₁² + Bx₁x₂ + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0

当前曲线

圆

A = 1

B = 0

C = 1

D = 0

E = 0

F = -9

判别式:

B² - 4AC = -4.0

选择曲线类型

所有圆锥曲线类型

圆

A=1, B=0, C=1

椭圆

A=4, B=0, C=9

旋转椭圆

A=5, B=4, C=5

抛物线

A=0, B=0, C=1

平行线(竖)

A=1, B=0, C=0

旋转抛物线

A=1, B=2, C=1

平行线(斜)

A=1, B=2, C=1

双曲线

A=1, B=0, C=-1

双曲线 xy=1

A=0, B=1, C=0

旋转双曲线

A=1, B=2, C=-1

相交线

A=1, B=0, C=-4

相交线(正交)

A=0, B=1, C=0

🔍 判别方法

• B² - 4AC < 0：椭圆（或圆）

• B² - 4AC = 0：抛物线（或平行线）

• B² - 4AC > 0：双曲线（或相交线）

• A = C, B = 0：圆

• B ≠ 0：旋转曲线（有交叉项）

9.6 参数的几何意义

在一般方程中，各参数具有明确的几何意义，理解这些参数可以帮助我们直观把握曲线的形状和位置。

二次项系数 A, B, C 的作用

A 和 C

控制曲线的扁平程度

视觉效果：

• A 控制 x₁ 方向的伸缩
• C 控制 x₂ 方向的伸缩
• A/C 比值决定长宽比

控制曲线的旋转角度

视觉效果：

• B = 0：主轴平行坐标轴
• B ≠ 0：曲线有旋转
• |B| 越大，旋转越明显

判别式

B² - 4AC

决定曲线类型：

• < 0：椭圆族
• = 0：抛物线族
• > 0：双曲线族

一次项系数 D, E 的作用

D 和 E

控制曲线的平移

• D：在 x₁ 方向的平移量

• E：在 x₂ 方向的平移量

💡 这两个参数决定曲线中心的位置

常数项

作用：整体缩放调整

• 影响曲线的大小

• 配合其他参数确定曲线位置

💡 F 的符号和大小影响曲线是否存在

参数组合的视觉效果

标准位置（无旋转）

B = 0

曲线主轴与坐标轴平行，形状最"规整"，易于识别和计算

标准位置（中心在原点）

D = E = 0

曲线中心位于原点，关于原点对称

旋转情况

B ≠ 0

出现交叉项 Bx₁x₂，曲线相对坐标轴有旋转角度

平移情况

D ≠ 0 或 E ≠ 0

曲线中心偏离原点，整体发生平移

9.7 圆锥曲线一般式

圆锥曲线的一般形式

圆锥曲线的一般形式如下：

Ax₁² + Bx₁x₂ + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0

(26)

📊 二次项（决定形状）

Ax₁²x₁ 方向的二次项

Cx₂²x₂ 方向的二次项

Bx₁x₂交叉项（旋转）

📍 一次项和常数项（位置和大小）

Dx₁x₁ 方向的一次项

Ex₂x₂ 方向的一次项

F常数项

满足下列条件，圆锥曲线为正圆

Ax₁² + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0, A = C

(27)

条件解读：

• A = C：x₁ 和 x₂ 方向的二次项系数相等
• B = 0：无交叉项，无旋转
• 这保证了曲线在各个方向上的"曲率"相同，形成正圆

满足下列条件，圆锥曲线为正椭圆、即没有旋转

Ax₁² + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0, A ≠ C, AC > 0

(28)

条件解读：

• A ≠ C：两个方向的二次项系数不同，形成椭圆而非圆
• AC > 0：A 和 C 同号（都为正或都为负）
• B = 0：无交叉项，主轴平行于坐标轴
• 这种椭圆的长轴和短轴分别平行于 x₁ 和 x₂ 轴

满足下列条件，圆锥曲线为正双曲线

Ax₁² + Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0, AC < 0

(29)

条件解读：

• AC < 0：A 和 C 异号（一正一负）
• B = 0：无交叉项，渐近线平行于坐标轴
• 这保证了方程的两个二次项符号相反，形成双曲线
• A 为正时，开口朝 x₁ 方向；C 为正时，开口朝 x₂ 方向

满足下列条件一条件，圆锥曲线为正抛物线

Ax₁² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0

Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0

(30)

条件解读：

• 只有一个二次项：要么只有 Ax₁²，要么只有 Cx₂²
• 第一种情况：Ax₁² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0（开口朝 x₂ 方向）
• 第二种情况：Cx₂² + Dx₁ + Ex₂ + F = 0（开口朝 x₁ 方向）
• 缺少其中一个二次项是抛物线的关键特征

⚠️

注意当 B ≠ 0 时，圆锥曲线有旋转，需要通过 B² - 4AC 判别式来确定曲线类型：

• B² - 4AC < 0：圆锥曲线为椭圆

• B² - 4AC = 0：圆锥曲线为抛物线

• B² - 4AC > 0：圆锥曲线为双曲线

矩阵运算式

把 (26) 写成矩阵运算式形式：

¹/₂ [x₁ x₂] [2A B] [x₁] + [D] [x₁] + F = 0

[B 2C] [x₂] [E] [x₂]

(31)

矩阵形式的优势：

• 更紧凑的表示方式
• 便于进行线性变换和旋转分析
• 二次型矩阵的特征值与圆锥曲线类型相关

进一步写成：

¹/₂ x^TQx + w^Tx + F = 0

(32)

矩阵 Q

Q = [2A B ]

[ B 2C]

(33a)

二次型矩阵，对称矩阵

向量 w

w = [D]

[E]

(33b)

一次项系数向量

向量 x

x = [x₁]

[x₂]

坐标向量

矩阵 Q 的重要性质

🔷 对称性

Q 是对称矩阵（Q^T = Q），这保证了它有实特征值和正交特征向量

🔷 特征值

Q 的特征值决定了圆锥曲线的主轴方向和长度，通过特征值分解可以消除交叉项

🔷 行列式

det(Q) = 4AC - B²，与判别式密切相关，符号决定曲线类型

🔷 迹

tr(Q) = 2A + 2C = 2(A + C)，在坐标旋转下保持不变

判别式 B² - 4AC 的几何意义

⭕

B² - 4AC < 0

椭圆或圆

• 曲线是闭合的

• 有界区域

• 两个主轴方向的"弯曲"同向

⌒

B² - 4AC = 0

抛物线

• 曲线是开放的

• 无界，向一个方向延伸

• 只有一个弯曲方向

⟡

B² - 4AC > 0

双曲线

• 两支分离的曲线

• 无界，向两个方向延伸

• 两个主轴方向的"弯曲"反向

💡 判别式不变性

判别式 B² - 4AC 在坐标系旋转和平移变换下保持不变，这是一个重要的不变量。

几何意义：无论我们如何旋转或平移坐标系，判别式的值始终相同，因此它真实反映了曲线的内在几何性质——是椭圆、抛物线还是双曲线。

章节总结

关键要点

🎯

离心率

e值决定曲线类型

🔄

参数变化

k和ρ控制形状

⬟

超椭圆

Lp度量空间

📊

一般形式

判别式B²-4AC

核心概念

▸离心率e描述了圆锥曲线偏离圆形的程度：e=0是圆，0<e<1是椭圆，e=1是抛物线，e>1是双曲线
▸参数k和ρ控制椭圆的旋转和与矩形的相切关系
▸超椭圆是Lp度量空间的可视化，p和q决定形状从星形到方形
▸一般形式的判别式 B²-4AC 决定了曲线是椭圆、抛物线还是双曲线
▸交叉项Bx₁x₂表示曲线有旋转角度