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第07章

距离

Distance

欧几里得距离：测量空间中的远近

📚 本章内容

本章介绍距离的基本概念，包括两点距离、成对距离、点到直线距离、等距线和距离关系。 这些是空间分析和机器学习的基础。

7.1-7.2
两点距离
7.3
成对距离
7.4
点到线距离
7.5
等距线
7.6
距离关系

7.1-7.2 两点之间的距离

两点之间的距离是几何学中最基本的概念。在二维平面和三维空间中， 欧几里得距离公式给出了两点间的直线距离。

2D 平面
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
3D 空间
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

两点之间的距离

动画展示平面和空间中两点之间的距离计算

xy

距离公式

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
= √[(5-(-4))² + (-6-(6))²]
= 15.00
中点 M:
x_M = (x₁+x₂)/2 = 0.5
y_M = (y₁+y₂)/2 = 0

维度选择

动画控制

💡 知识要点

• 欧几里得距离：平面或空间中两点之间的直线距离

• 中点公式：M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

• 距离分解：距离可以分解为各坐标轴方向的分量

• 勾股定理推广：d² = Δx² + Δy² (+ Δz²)

7.3 成对距离

成对距离是指计算多个点之间所有两两组合的距离。对于n个点，有n(n-1)/2对距离。 这在聚类分析、相似度计算和数据分析中非常重要。

距离矩阵D:
D[i,j] = √[(xᵢ-xⱼ)² + (yᵢ-yⱼ)²]
对称性:
D[i,j] = D[j,i], D[i,i] = 0

成对距离可视化

展示12个点之间的所有成对距离

001122334455667788991010ABCDEFGHIJKLx₁x₂

统计信息

点数: 12
成对数: 66
最大距离: 9.22
最小距离: 1.00

视图模式

动画控制

提示

点击散点图中的点可以高亮显示该点到其他所有点的距离

💡 应用场景

• 聚类分析：根据点之间的距离将数据分组

• 最近邻搜索：找到与给定点距离最近的其他点

• 空间分布：分析点的分布密度和间隔

• 相似度度量：距离小表示两点相似，距离大表示差异大

7.4 点到直线的距离

点到直线的距离是指从点到直线的最短距离，即垂直距离。 对于直线 ax + by + c = 0 和点 (x₀, y₀)，距离公式为：

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
垂足坐标可通过投影公式计算得到

点到直线的距离

动画展示如何计算点到直线的垂直距离

xy

距离公式

直线方程:
1x + (-2)y + (-4) = 0
距离公式:
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
= |1×(-4) + (-2)×6 + (-4)| / √(1² + (-2)²)
= 8.94
垂足坐标:
H = (0.00, -2.00)

显示选项

动画控制

💡 几何意义

• 最短距离：点到直线的最短距离是沿着垂直方向

• 垂足H：是直线上距离点A最近的点

• 垂直关系：AH ⊥ 直线，形成直角

• 应用：计算点到平面的距离、误差分析、最优化问题

7.5 等距线

等距线是到某个点距离相等的所有点的集合。对于平面上的原点， 等距线形成一系列同心圆。在三维空间中，距离函数形成圆锥曲面。

距离函数:
f(x, y) = √(x² + y²)
等距线:
f(x, y) = r (常数)

等距线：到原点的距离

展示平面上到原点距离相等的点形成的等距圆

xyO (0, 0)

距离函数

f(x, y) = √(x² + y²)
平面上点(x, y)到原点的欧氏距离
等距线:
f(x, y) = r (常数)
形成以原点为中心的同心圆

视图模式

动画控制

💡 几何性质

• 等距圆：到原点距离相等的点形成圆

• 径向对称：距离函数关于原点完全对称

• 圆锥曲面：3D视图中距离函数形成正圆锥

• 梯度方向：距离增长最快的方向是径向向外

7.6 距离量化关系

距离量化关系研究满足特定距离条件的点集。不同的距离关系产生不同的几何曲线： 双曲线、椭圆、圆等。

双曲线
dₐ - dₑ = 常数
阿波罗尼斯圆
dₐ/dₑ = 常数
椭圆
dₐ + dₑ = 常数

距离量化关系

展示满足不同距离关系的点的轨迹

xyA (4, 2)B (0, -2)

当前关系

d_A - d_B = 0
到A和B距离相等

距离关系类型

显示选项

动画控制

💡 几何曲线

• d_A - d_B = 0：双曲线（两点距离差为常数）

• d_A - d_B = ±3：双曲线的一支

• d_A - 2d_B = 0：阿波罗尼斯圆（距离比为常数）

• d_A + d_B = 8：椭圆（两点距离和为常数）

章节总结

关键要点

📏
两点距离
欧几里得公式
🕸️
成对距离
距离矩阵
⟂
点线距离
垂直距离
🎯
等距线
同心圆
∾
距离关系
几何曲线

核心概念

  • ▸距离是度量空间中两点间远近的基本方法
  • ▸成对距离矩阵是对称的，对角线为0
  • ▸点到直线的最短距离是垂直距离
  • ▸等距线在平面上形成同心圆，在空间中形成同心球
  • ▸不同的距离关系对应不同的几何曲线：双曲线、椭圆、圆