📚 本章内容
本章介绍函数的高级主题，包括对数坐标系在数据可视化中的应用、 函数的平移缩放变换、高斯函数及其在统计学中的应用、 逻辑函数在分类和增长模型中的重要作用、三角函数的周期性特征， 以及函数的几何变换原理。
12.1 对数坐标系
对数坐标系通过将坐标轴设置为对数刻度，可以更好地展示指数增长或幂次关系。 特别适用于观察数据的相对变化和倍数关系。
对数坐标系
对比不同坐标刻度下的函数表现
当前模式
坐标刻度
函数图例
📊 对数坐标的意义
• 线性坐标：适合观察绝对值变化
• 对数坐标：适合观察相对变化和倍数关系
• 指数函数：在y轴对数坐标下呈直线
• 幂函数：在双对数坐标下呈直线
• 应用：科学计数、数据分析、信号处理
12.2 函数变换
函数变换包括平移、缩放和对称等操作，是理解函数行为的基础工具。 这些变换在信号处理、图像处理和数据分析中有广泛应用。
函数变换
探索函数的平移、缩放和对称变换
当前变换
变换类型
参数调节
图例
🔄 变换规则
平移
• f(x) + c：垂直平移c
• f(x + c)：水平平移-c
缩放
• c·f(x)：y方向缩放c倍
• f(c·x)：x方向缩放1/c倍
对称
• -f(x)：关于x轴对称
• f(-x)：关于y轴对称
12.3 高斯函数：高斯分布之基础
复合函数
复合函数（function composition）通俗地说就是函数套函数。 是把一个函数的输出数当做另一个函数的输入量为自变量。
高斯函数
自然指数函数套函数等和其他函数构造复合函数。比如，自然指数函数复合一次函数，得到高斯函数（Gaussian function）：
其中，γ为参数，γ > 0。高斯函数的定义域是(−∞, ∞)，而值域是 (0, 1]。(10) 变出的高斯函数关于 x = 0 对称。
⚠ 注意，各种资源无穷远处是 0，却不到 0。
图 6 (a) 所示为 γ 决定高斯函数的形状。
图 6. 各种函数和拉普拉斯核函数
最基本的高斯函数为：
如下也是常用的高斯函数的一般形式：
拉普拉斯核函数
此外，绝对值函数 |x| 和指数函数的复合，得到的是另一个拉普拉斯核函数（Laplacian kernel function）：
图 6 (b) 所示为 γ 决定拉普拉斯核函数的形状。
⚠ 注意，图 6 (b) 中拉普拉斯核函数在 x = 0 处有"尖点"， 它破坏了函数的平滑。拉普拉斯核函数也经常出现在机器学习一些法宝当中。
被称作数学王子的高斯，出身贫寒，母亲做过女佣近乎文盲，父亲多半生靠体力讨生活。据说， 高斯自幼喜欢读书，特别是和数学相关的书籍，渴望学习，热爱知识是他的驱动力，而不是颜如玉、黄金屋。
图 7. 高斯所处时代大事记
12.4 逻辑函数：在0和1之间取值
逻辑函数（logistic function）也可以说作是自然指数函数的复合函数。 下式为最简单的一元逻辑函数：
更一般的一元逻辑函数形式为：
可以明显发现逻辑函数的取值范围在 0 和 1 之间。函数无限接近 0 和 1，却不能达到。如图 8 所示，b1 影响函数的陡峭程度。注意图中 b0 = 0。
图 8. b1 影响逻辑函数的陡峭程度
中心点位置
下面确定 f(x) = 1/2 位置。令，
整理得到：
这个点被称作逻辑函数中心所在位置。图 9 中 b1 = 1，b0 决定逻辑函数中心所在位置。
图 9. b1 = 1时，b0 决定逻辑函数中心所在位置
逻辑回归
逻辑回归（logistic regression）建模基于逻辑函数， 逻辑回归虽然被称作回归模型，但很奇怪。将来第二分类。
上一章我们看到线性回归中输出 y 是连续性，如表10所示，逻辑回归中 y 可以为离散值， 比如 0、1。因此，我们也可以把逻辑函数模型看成一个分类。 此外，逻辑回归可以看成是线性回归基础上增加了一个非线性连接点。
图 10. 逻辑回归可以看作二分类
逻辑斯蒂增长
自然界和人类社会中，指数增长 J 型增长（J-shaped growth） 一般只在一段时间内存在。各种条件会限制增长幅度，比如人口增长不可能一直指数增长保持下去， 伴随地球的承载能力（carrying capability）有限。
而逻辑曲线可以用来模拟人口增长的 S 型增长曲线（S-shaped growth curve）， 如图 11 所示。S 型增长曲线中，开始阶段类似指数增长。
然后，随着种群密度不断增多，受限于有限资源，个体之间对食物、生存空间等资源竞争等越激烈， 守越越缓。增长逐渐停止，趋向于瓶颈。最后，增长逐渐停止，趋向于瓶颈。
图 11. 逻辑函数模拟人口增长
S型函数
逻辑函数虽是 S 型函数（sigmoid function 或 S-shaped function）的一种。 S 型函数因其函数图像形状类似字母 S 而得名。机器学习和深度学习中，S 型函数经常出现。
常见的 S 型函数还有双曲正切函数 f(x) = tanh(x)、 反正切函数 f(x) = arctan(x)、误差函数 f(x) = erf(x) 等。
💡 本书会在第 18 章专门讲多个 S 型函数。
一些代数函数也可以归类为 S 型函数，比如：
图 12. 比较几种常用的 S 型函数曲线形状
tanh() 函数
在很多机器学习算法中，sigmoid 函数特指 tanh() 函数。 给定如下 tanh() 函数一般式：
图 13 所示为 γ 如何影响曲线形状。
图 13. γ 影响双曲正切函数形状
12.5 三角函数：周期函数的代表
本节介绍常用的三角函数。三角函数（trigonometric function 或 circular function）是一类周期函数（periodic function）。
正弦函数
正弦函数（sine wave 或 sinusoid）是一种常见的波形。图 14 (a) 所示为如下正弦函数：
图 14 (a) 所示正弦函数是关义域为全体实数域。f(x) = sin(x) 函数是奇函数（odd function），关于原点对称。这个函数的周期（period）是 T = 2π，函数值域是 [−1, 1]。准确来说，这个周期 T 是最小正周期。
图 14 (a) 所示正弦函数取得最大值 1，对应的 x 为：
其中，n 为整数。
正弦函数的极小值为 −1 对应 x 为：
numpy.sin() 函数可以用来完成正弦计算。
图 14 (a). 正弦函数 y = sin(x)
余弦函数
图 14 (b) 所示为如下余弦函数（cosine function）：
图 14 (b) 所示余弦函数是偶函数，关于纵轴对称。y = cos(x) 相当于图 14 (a) 正弦函数水平向左平移 π/2。余弦函数也是周期为 2π 的周期函数。numpy.cos() 函数可以用来完成余弦计算。
图 14 (b). 余弦函数 y = cos(x)
六个三角函数总结
表 3 总结了六个常用三角函数图像及性质。
| 函数 | 性质 | 图像特征 |
|---|---|---|
正弦 (sine) y = sin(x) numpy.sin() | 定义域：整个实数集 值域：[−1, 1] 最小正周期：2π 奇函数，图像关于原点对称 极大值为 1，极小值为 −1 | 周期波动，过原点 |
余弦 (cosine) y = cos(x) numpy.cos() | 定义域：整个实数集 值域：[−1, 1] 最小正周期：2π 偶函数，图像关于 y 轴对称 极大值为 1，极小值为 −1 | 周期波动，从最大值开始 |
正切 (tangent) y = tan(x) numpy.tan() | 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ ℤ} 值域：整个实数集 最小正周期：π 奇函数，图像关于原点对称 不存在极值 | 有垂直渐近线 |
余切 (cotangent) y = cot(x) 1/numpy.tan() | 定义域：{x | x ≠ kπ, k ∈ ℤ} 值域：整个实数集 最小正周期：π 奇函数，图像关于原点对称 不存在极值 | 有垂直渐近线 |
正割 (secant) y = sec(x) 1/numpy.cos() | 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ ℤ} 值域：| sec(x) | ≥ 1 最小正周期：2π 偶函数，图像关于 y 轴对称 不存在极值 | U型曲线，有渐近线 |
余割 (cosecant) y = csc(x) 1/numpy.sin() | 定义域：{x | x ≠ kπ, k ∈ ℤ} 值域：| csc(x) | ≥ 1 最小正周期：2π 奇函数，图像关于原点对称 不存在极值 | U型曲线，有渐近线 |
用英文读三角函数
表 4 给出了用英文读三角函数的方法。
| 数学表达 | 英文表达 |
|---|---|
| sin θ + x | Sine of theta, that quantity plus x. |
| sin (θ + ω) | Sine of sum theta plus omega. Sine of the quantity theta plus omega. |
| sin (θ) · x | Sine theta times x. |
| sin (θω) | Sine of the product theta time omega. |
| (sin θ²) · x | Sine of theta squared, that quantity times x. |
| (sin² θ) · x | Sine squared of theta, that quantity times x. |
12.6 函数变换：平移、缩放、对称
本章最后利用高斯函数和大家探讨函数变换。常见的函数变换有三种：平移、缩放和对称。
给定某个函数 y = f(x) 解析式为：
平移
如图 15 所示，相对 y = f(x)，f(x) + c 竖直向上平移 c 单位（vertical shift up by c units）；f(x) − c 将原函数竖直向下平移 c 单位（vertical shift down by c units）。
图 15. 原函数 y = f(x) 上下平移
如图 16 所示，相对 y = f(x)，f(x + c) 相当于函数向左平移 c 单位（horizontal shift left by c units），c > 0；f(x − c) 相对原函数向右平移 c 单位（horizontal shift right by c units）。
⚠注意，水平平移不影响函数图像和横轴色调的面积。
图 16. 原函数 y = f(x) 左右平移
缩放
如图 17 所示，相对 y = f(x)，c·f(x) 相当于函数竖直方向缩放（vertical scaling）。c > 1 时，c·f(x) 竖直方向拉伸（vertical stretch）；0 < c < 1 时，c·f(x) 竖直方向压缩（vertical compression）。
⚠注意，这种几何变换会比例缩放面积。
图 17. 原函数 y = f(x) 竖直方向伸缩
如图 18 所示，相对 y = f(x)，f(cx) 相当于函数水平方向伸缩（horizontal scaling）。c > 1 时，水平方向压缩（horizontal compression）；0 < c < 1 时，水平方向拉伸（horizontal stretch）。面积比例缩放比例为 1/c。
如图 19 所示，相对于 f(x)，c·f(cx) 面积不变。
图 18. 原函数 y = f(x) 水平方向伸缩
图 19. 原函数 y = f(x) 水平方向、竖直方向同时伸缩
对称
如图 20 所示，相对 y = f(x)，−f(x) 相当于函数关于 y 轴对称（reflection about y axis）。−f(x) 相当于函数关于 x 轴对称（reflection about x axis）。而 f(x) 和−f(−x) 关于原点对称。
图 20. 原函数 y = f(x) 关于横轴、纵轴对称
从高斯函数到高斯分布
一元高斯分布的概率密度函数表达式如下：
其中，μ 为均值，σ 为标准差。
高斯分布的概率密度函数数学形式可以通过这些几何变换理解。
观察式 (26) 中括号部分存在两个函数变换——横轴缩放 (σ)、横轴平移 (μ)。令：
将 (27) 代入 (26)，变型得到：
(28) 中分母 σ√(2π)，还到竖直方向缩放作用，保证曲线下方面积为 1。理解这步需要换变量积分知识，图 21 所示为以上三步几何变换。
图 21. 高斯函数三步几何变换
章节总结
关键要点
核心概念
- ▸对数坐标系中，指数函数在y轴对数下呈直线，幂函数在双对数下呈直线
- ▸垂直平移 f(x) + c 使函数沿 y 轴移动 c 个单位
- ▸水平平移 f(x + c) 使函数沿 x 轴移动 -c 个单位（注意方向相反）
- ▸垂直缩放 c·f(x) 在 y 方向拉伸或压缩 c 倍
- ▸水平缩放 f(c·x) 在 x 方向拉伸或压缩 1/c 倍（注意是倒数）
- ▸对称变换：-f(x) 关于 x 轴对称，f(-x) 关于 y 轴对称
- ▸高斯函数 f(x) = exp(−γx²) 是关于原点对称的钟形曲线，是正态分布的基础
- ▸拉普拉斯核函数 f(x) = exp(−γ|x|) 在 x = 0 处有尖点，但仍是对称函数
- ▸逻辑函数取值范围在 (0, 1) 之间，形成 S 型曲线，广泛用于分类和增长建模
- ▸S 型函数（sigmoid）包括逻辑函数、tanh、arctan等，在机器学习中作为激活函数
- ▸正弦函数 sin(x) 和余弦函数 cos(x) 是周期为 2π 的周期函数，值域为 [−1, 1]
- ▸六个三角函数包括 sin、cos、tan、cot、sec、csc，分为奇函数和偶函数
- ▸函数的几何变换：垂直平移 f(x) ± c、水平平移 f(x ± c)、垂直缩放 c·f(x)、水平缩放 f(c·x)
- ▸对称变换：−f(x) 关于 x 轴对称，f(−x) 关于 y 轴对称，−f(−x) 关于原点对称
- ▸高斯分布可通过水平缩放、水平平移、垂直缩放三步几何变换从高斯函数得到
🎯 实际应用
对数坐标适合展示跨多个数量级的数据，如地震强度、星球亮度等。
函数变换用于信号的时移、缩放和调制，是数字信号处理的基础。
通过对数变换将指数增长的数据线性化，便于回归分析和模式识别。
函数变换应用于图像的平移、缩放、翻转等几何变换操作。