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📚 本章内容

本章系统地介绍多项式函数的性质和图形特征，包括一元线性函数的斜率和截距、二次函数的开口和平移、以及一至三次函数的典型形状。

11.1

一元线性函数

11.2

二次函数

11.3

多项式函数图库

11.1 一元线性函数：斜率与截距

一元线性函数的一般形式为 y = w₁·x + b，其中 w₁ 是斜率，b 是截距。斜率决定直线的倾斜程度，截距决定直线与y轴的交点。

正斜率:

y = w₁·x (w₁ > 0)

负斜率:

y = w₁·x (w₁ < 0)

正截距:

y = x + b

负截距:

y = -x + b

一元线性函数：斜率与截距

探索斜率和截距对直线的影响

当前模式

y = w₁·x (w₁ > 0)

正斜率，斜率越大越陡

选择模式

图例

w = 0.20

w = 0.25

w = 0.33

w = 0.50

w = 1.00

...共9条

📐 参数意义

• 斜率w₁：控制直线的倾斜程度，w₁> 0向上倾斜，w₁<0向下倾斜

• 截距b：直线与y轴的交点，控制直线的垂直位置

• 平行线：斜率相同的直线互相平行

• 颜色渐变：蓝→红表示参数从小到大

11.2 二次函数：开口与平移

二次函数的标准形式为 f(x) = a(x-h)² + k，其图像为抛物线。参数a控制开口方向和宽窄，(h,k)是抛物线的顶点坐标。

f(x) = a(x - h)² + k

a > 0: 开口向上

a < 0: 开口向下

h: 水平平移

k: 垂直平移

二次函数：开口与平移

探索二次函数参数对抛物线形状的影响

当前模式

f(x) = a·x² (a > 0)

开口向上，a越大开口越窄

选择模式

标准形式

f(x) = a(x-h)² + k

• a: 开口方向和宽窄

• h: 顶点横坐标

• k: 顶点纵坐标

• 顶点: (h, k)

🎯 抛物线特征

• 开口方向：a > 0向上，a < 0向下

• 开口宽窄：|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽

• 对称轴：x = h

• 顶点：抛物线的最高点（a<0）或最低点（a>0）

11.3 多项式函数图库

从一次到三次函数，随着次数的增加，函数图像的复杂度逐渐提高。一次函数是直线，二次函数是抛物线，三次函数呈S形曲线。

一次函数：

直线，有固定斜率

二次函数：

抛物线，有顶点

三次函数：

S形曲线，有拐点

多项式函数图库

一次、二次、三次函数的典型形状

当前函数

一次函数

y = x + 1

选择函数

所有函数一览

y = x + 1

一次函数

y = -x + 1

一次函数

y = x² - 2

二次函数

y = -x² + 2

二次函数

y = x³ - x

三次函数

y = -x³ + x

三次函数

📚 函数特征

一次函数

• 图像为直线

• 斜率决定倾斜

二次函数

• 图像为抛物线

• 有一个顶点

三次函数

• 图像为S形曲线

• 有拐点

11.4 多项式函数：从叠加角度来看

多项式函数 (polynomial function) 相当于一次和二次函数的推广，具体形式如下：

y = f(x) = a_Kx^K + a_K-1x^K-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = Σ_i=0^K a_ixⁱ (8)

其中，最高次项系数 a_K 不为 0，K 为最高次项次数。

图 15 几幅分图分别展示常数函数、一次到五次函数图像。可以这样理解，任何五次多项式函数都是通过这些基函数叠加而成。

f(x) = 1

f(x) = x

f(x) = x²

f(x) = x³

f(x) = x⁴

f(x) = x⁵

图 15. 常数函数到五次函数

三次函数示例

三次函数 (cubic function) 的形式为：

y = f(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

举两个三次函数的例子：

y = f(x) = x³ - x

y = f(x) = -x³ + x

(a) y = x³ - x

(b) y = -x³ + x

图 16. 两个三次函数

这两个三次函数可以看做是 x³ 和 x 经过加减运算合成，如图 17 所示。

f(x) = x³ - x

f(x) = x³

f(x) = -x

f(x) = -x³ + x

f(x) = -x³

f(x) = x

图 17. 函数叠加得到三次函数

⚠️

过拟合问题

多项式回归中，提高拟合阶数可以达到对数据更精确的拟合；但是，当阶数过高时，容易产生过度拟合 (overfitting) 问题。

合理拟合

过拟合现象

图 18. 多项式回归的拟合效果对比

💡 使用过于复杂的模型会导致过拟合现象。过拟合的模型在训练数据上表现很好，但在预测新样本数据时，往往结果较差。

11.5 幂函数：底数为自变量

幂函数 (power function) 是形如下式的函数：

f(x) = k · x^p

其中，自变量 x 为底数 (base)，p 为指数 (exponent 或 power)。幂就是一个数和它自己相乘的积，比如 x² 是二次幂，x³ 是三次幂。

表 1. 常用幂函数

函数类型	表达式	图像
常数函数	f(x) = 1 = x⁰
恒等函数	f(x) = x = x¹
平方函数	f(x) = x²
立方函数	f(x) = x³
反比例函数	f(x) = 1/x = x⁻¹, x≠0
反比例平方函数	f(x) = 1/x² = x⁻², x≠0

平方根函数和立方根函数

平方根函数 (square root function)：

y = f(x) = √x = x^1/2, x ≥ 0

⚠️ 注意：函数定义域 x ≥ 0（非负实数），函数值域也是非负实数。

立方根函数 (cubic root function)：

y = f(x) = ∛x = x^1/3

(a) 平方根与平方函数

(b) 立方根与立方函数

图 19. 平方根和立方根函数

幂函数的奇偶性

当 p 为偶数时，幂函数为偶函数，图像关于 y 轴对称；当 p 为奇数时，幂函数为奇函数，图像关于原点对称。

(a) p 为偶数 - 偶函数

(b) p 为奇数 - 奇函数

图 20. 幂函数 p 为偶数和奇数时的图像特征

反比例函数

反比例函数 (inversely proportional function) 的一般式：

y = f(x) = k/x, x ≠ 0

反比例函数的图像是双曲线，具有两条渐近线：水平渐近线 y = 0 和竖直渐近线 x = 0。

图 21. 不同 k 值的反比例函数 f(x) = k/x

渐近线

渐近线 (asymptote) 是指与曲线极限相关的一条直线。当曲线上某动点沿该曲线无穷远离原点时，动点到该直线的距离趋近于零。

• 水平渐近线 (horizontal asymptote): y = 0
• 竖直渐近线 (vertical asymptote): x = 0

11.6 分段函数

分段函数 (piecewise function) 是指在定义域的不同部分，用不同的表达式来表示的函数。分段函数在不同区间可能有不同的函数规则。

绝对值函数

绝对值函数 (absolute value function) 是最常见的分段函数：

y = |x|

= {

x, 当 x ≥ 0

-x, 当 x < 0

}

图 22. 绝对值函数 y = |x|

绝对值函数的图像呈 V 形，在 x = 0 处连续但不可导（存在尖点）。

符号函数

符号函数 (sign function) 返回数值的符号：

y = sgn(x)

= {

1, 当 x > 0

0, 当 x = 0

-1, 当 x < 0

}

图 23. 符号函数 y = sgn(x)

符号函数在 x = 0 处不连续，存在跳跃间断点。

分段线性函数

分段线性函数在不同区间由不同的线性函数组成，例如：

f(x)

= {

-x - 2, 当 x < -1

x, 当 -1 ≤ x ≤ 1

-x + 2, 当 x > 1

}

图 24. 分段线性函数示例

💡 重要性质：分段函数在分段点处可能连续也可能不连续，即使连续也可能不可导。这些性质在微积分中非常重要。

章节总结

关键要点

📊

线性函数

斜率和截距

⫝̸

二次函数

抛物线形状

∿

三次函数

S形曲线

核心概念

▸线性函数 y = w₁x + b 的斜率w₁决定倾斜程度，截跛b决定与y轴的交点
▸二次函数 f(x) = a(x-h)² + k 的参数a控制开口，(h,k)是顶点
▸抛物线对称轴为 x = h，在顶点处达到极值
▸三次函数有拐点，函数凹凸性在拐点处发生变化
▸多项式次数越高，函数图像越复杂，拐点和极值点越多

🎯 实际应用

线性回归

机器学习中最简单的模型，通过拟合直线预测数据趋势。

物理运动

抛物线描述抛体运动轨迹，二次函数在力学中广泛应用。

经济分析

成本函数、收益函数等经济模型通常用多项式表示。

曲线拟合

高次多项式可以拟合复杂曲线，是数值分析的基础工具。