UNIT 01数位与进位
#9 回文数
- 保存的状态
- 未消费的高位整数与已经反转的低位。
- 查询与更新
- 逐次取最低位，消费原数位，把低位积累为反向表示。
- 正确性契约
- 两部分分别表示同一整数尚未处理与已经处理的数位。
- 边界与增量
- 负数和非零尾零先排除；奇数位中心不能重复比较。
迁移 · #7 整数反转迁移到整数反转时处理全部数位，并检查有符号整数范围。
先说清契约，再独立实现进入本单元 ↗
Python算法训练序列
基础概念 · Unit 00
刷题前置：Hashing Fundamentals
哈希不是一个代码模板，
而是一种“把对象直接送到位置”的思想。
没有哈希时，判断一个元素是否出现过，往往需要逐个扫描历史。哈希通过一个确定的映射规则，把对象转换为桶位置，从而在平均情况下快速完成查询、插入和更新。
这个页面使用
h(x)=x mod 7 作为教学模型。真实 Python 的 set 和 dict 使用更复杂的哈希与冲突处理机制，但核心思想相同：由键快速定位存储位置。CHAPTER 01 / THE COGNITIVE ATLAS
第 1 章 · 认知梯度全景图
数组与哈希：从数值表示出发，练习用集合、映射与频次记录状态。
贯穿本章的统一框架观察对象 → 表示状态 → 查询历史 → 更新记录。先决定要记住什么，再选择数位变量、集合或映射。
从基础到复合任务，每一步增加一种决策
这里的梯度描述认知任务的递进，不等同于题库的难度标签。点击题目可进入对应单元。
起点 · Unit 00 数值表示、哈希与状态记录。先理解状态、操作与不变量，再沿下列路线练习。
- 01
- 02
- 03
- 04
- 05
每道题在框架中的具体形式
用同一组问题定位每个单元，再观察迁移题改变了哪个条件。进入写代码环节后，学习地图会收起，留出独立思考的空间。
UNIT 02数位与进位
#66 加一
- 保存的状态
- 数位数组、当前下标与进位。
- 查询与更新
- 从最低位向左传播进位，进位消失后可结束。
- 正确性契约
- 当前位置右侧已成为最终结果，剩余影响仅由进位表示。
- 边界与增量
- 连续的 9 与最高位新增数位；本题不需要哈希。
迁移 · #67 二进制求和二进制求和增加第二个输入和不同长度，基数从 10 改为 2。
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UNIT 03存在与索引
#217 存在重复元素
- 保存的状态
- 集合保存已经扫描过的元素值。
- 查询与更新
- 先判断当前值是否已出现，再记录当前值。
- 正确性契约
- 集合恰好表示当前元素之前的历史值。
- 边界与增量
- 空历史不产生重复，不能先写入再查询自己。
迁移 · #219 存在重复元素 II重复元素 II 要记录最近索引，并检查索引差是否不超过 k。
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UNIT 04存在与索引
#1 两数之和
- 保存的状态
- 映射保存历史元素值对应的索引。
- 查询与更新
- 先查询目标补数，再写入当前值和索引。
- 正确性契约
- 候选搭档来自之前的元素，不会让同一索引匹配自己。
- 边界与增量
- 两个相同数可以来自不同索引；重复键仍须保证合法配对。
迁移 · #167 两数之和 II - 输入有序数组有序输入可改用相向指针，利用单调性排除整批数对。
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UNIT 05频次与一致性
#242 有效的字母异位词
- 保存的状态
- 字符到剩余数量的频次表。
- 查询与更新
- 建立第一个字符串的库存，再消耗第二个字符串的字符。
- 正确性契约
- 处理过程中，表中数量表示尚未匹配的字符余额。
- 边界与增量
- 长度不同或消耗不足即失败；数量不能只用存在性代替。
迁移 · #383 赎金信赎金信允许库存剩余，条件从数量相等改为库存足够。
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UNIT 06频次与一致性
#205 同构字符串
- 保存的状态
- 两个方向的字符映射。
- 查询与更新
- 检查历史配对是否冲突，再同时建立正向与反向关系。
- 正确性契约
- 每个源字符只对应一个目标字符，目标字符也不能被不同源占用。
- 边界与增量
- 仅维护单向映射不能保证一一对应。
迁移 · #290 单词规律单词规律把目标字符改成单词，仍需双向一致性。
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UNIT 07等价类与状态图
#49 字母异位词分组
- 保存的状态
- 规范化字符频次键到单词列表的映射。
- 查询与更新
- 为每个单词构造稳定的等价类键，再归入对应分组。
- 正确性契约
- 同组单词的字符数量完全相同，不同组的键不同。
- 边界与增量
- 键必须可哈希，不能把不同字符或频次混在一起。
迁移 · #890 查找和替换模式模式匹配的等价性改为首次出现位置结构，而非字符数量。
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UNIT 08等价类与状态图
#128 最长连续序列
- 保存的状态
- 所有不同数值组成的集合。
- 查询与更新
- 仅从不存在前驱的数值出发，沿连续后继扩展。
- 正确性契约
- 每段连续整数链只从唯一的最小值开始处理。
- 边界与增量
- 重复值不增加长度，输入中的相邻位置不等于数值连续。
迁移 · #674 最长连续递增序列连续递增序列依赖原数组的相邻顺序，因此改为线性段扫描。
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UNIT 09等价类与状态图
#202 快乐数
- 保存的状态
- 当前整数状态与已经出现过的状态集合。
- 查询与更新
- 生成各位平方和；到达 1 则成功，遇到历史状态则检测到循环。
- 正确性契约
- 每次转换都是确定性的，重复状态意味着未来轨迹重复。
- 边界与增量
- 记录的是完整数值状态，而非某一个数位。
迁移 · #141 环形链表环形链表把数值转换换成 next 后继，可用快慢指针检测循环。
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UNIT 10组合与多维约束
#454 四数相加 II
- 保存的状态
- 左侧两个数组的配对和及其出现频次。
- 查询与更新
- 先统计左半配对和，再查询右半配对和所需的相反数。
- 正确性契约
- 每次命中增加的是索引组合数量，而非只增加一个不同数值。
- 边界与增量
- 重复值仍代表不同索引组合；计数和去重是不同任务。
迁移 · #15 三数之和三数之和要求返回唯一数值三元组，需要排序与去重。
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UNIT 11组合与多维约束
#560 和为 K 的子数组
- 保存的状态
- 当前前缀和与历史前缀和频次。
- 查询与更新
- 查询与当前前缀相差 k 的历史数量，再记录当前前缀。
- 正确性契约
- 历史表包含虚拟零前缀及当前元素之前的所有前缀。
- 边界与增量
- 负数使普通滑窗失效；先记录当前前缀会误计空区间。
迁移 · #974 可被 K 整除的子数组整除子数组改为按余数分组，统一负数余数的表示。
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UNIT 12组合与多维约束
#36 有效的数独
- 保存的状态
- 每一行、每一列、每一宫已经出现的数字。
- 查询与更新
- 跳过空格，同时检查三个范围，再同步记录数字。
- 正确性契约
- 所有已处理的非空格在行、列、宫中均无重复。
- 边界与增量
- 校验已有数字不代表棋盘一定能求解。
迁移 · #37 解数独解数独增加候选选择与撤销，从静态校验升级为约束搜索。
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1. 为什么需要哈希
2. 哈希函数
3. 冲突
4. set 与 dict
5. 复杂度与边界
6. 题型触发信号
键 key例如整数 18、字符串 "apple"、用户ID等。
→
哈希函数 hash(key)把任意键转换为一个可用于定位的整数。
→
桶 bucket根据哈希值进入某个存储位置。
h(18) = 18 mod 7 = 4
教学哈希表：7 个桶，链式保存冲突元素当前为空
当前 key18
hash 值4
目标桶4
是否冲突否
当前元素数0
你需要带进刷题阶段的哈希心智模型
哈希的本质不是“背 set 或 dict”，而是：当问题反复询问某个键的历史信息时，用哈希结构把历史压缩成可快速查询的状态。根据任务不同，可以保存是否出现、索引、频次、分组列表或其他附加信息。
key → hash → bucket
冲突必须处理
set：只存键
dict：键→信息
平均 O(1)
最坏并非 O(1)
下一单元：LeetCode #217 存在重复元素
把“判断某个值以前是否出现过”编译为 Python set。
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