UNIT 01数位与进位
#9 回文数
- 保存的状态
- 未消费的高位整数与已经反转的低位。
- 查询与更新
- 逐次取最低位，消费原数位，把低位积累为反向表示。
- 正确性契约
- 两部分分别表示同一整数尚未处理与已经处理的数位。
- 边界与增量
- 负数和非零尾零先排除；奇数位中心不能重复比较。
迁移 · #7 整数反转迁移到整数反转时处理全部数位，并检查有符号整数范围。
先说清契约，再独立实现进入本单元 ↗
第1章｜数值与哈希
Unit 00 · 数值表示、哈希与状态记录基础
仅本次页面有效
U00
Number & Hash FundamentalsDigit · Key · State · Query · Update
哈希表不是“背一个 dict 模板”，
而是给历史状态设计可查询的表示。
本单元先拆开整数数位，再建立 set、dict、键和值、频次、一一映射、规范化键、前缀状态与查询—更新顺序。后续每道题都会回到同一个问题：当前需要记住什么，怎样把它变成稳定的键？
检测到上次学习进度阶段、动画、答题、代码、迁移槽位和编辑器高度均可恢复。
Unit 00 先清除后续章节的术语障碍
- 整数数位：
%、//、基数与进位； - 哈希结构：set、dict、键、值、默认值与平均 O(1)；
- 状态语义：频次、索引、映射、一一映射、规范化表示；
- 区间状态：前缀和、历史频次以及“先查询后更新”。
贯穿本章的状态记录模板
for item in data:
key = build_key(item)
old_state = table.get(key) # 先查历史
use(old_state) # 再产生答案
table[key] = new_state # 最后更新
Hash Key
键是状态的“地址标签”。相同键意味着算法认为两个对象在当前任务下等价。
State Meaning
dict 的值可以是索引、次数、配对对象或候选集合；变量名和不变量决定它的语义。
Query Before Update
先查询历史，再写入当前状态，常用于避免当前对象错误地匹配自己。
Canonical Key
把不同外观但本质等价的对象转成同一个、稳定且可哈希的表示。
CHAPTER 01 / THE COGNITIVE ATLAS
第 1 章 · 认知梯度全景图
数组与哈希：从数值表示出发，练习用集合、映射与频次记录状态。
贯穿本章的统一框架观察对象 → 表示状态 → 查询历史 → 更新记录。先决定要记住什么，再选择数位变量、集合或映射。
从基础到复合任务，每一步增加一种决策
这里的梯度描述认知任务的递进，不等同于题库的难度标签。点击题目可进入对应单元。
起点 · Unit 00 数值表示、哈希与状态记录。先理解状态、操作与不变量，再沿下列路线练习。
- 01
- 02
- 03
- 04
- 05
每道题在框架中的具体形式
用同一组问题定位每个单元，再观察迁移题改变了哪个条件。进入写代码环节后，学习地图会收起，留出独立思考的空间。
UNIT 02数位与进位
#66 加一
- 保存的状态
- 数位数组、当前下标与进位。
- 查询与更新
- 从最低位向左传播进位，进位消失后可结束。
- 正确性契约
- 当前位置右侧已成为最终结果，剩余影响仅由进位表示。
- 边界与增量
- 连续的 9 与最高位新增数位；本题不需要哈希。
迁移 · #67 二进制求和二进制求和增加第二个输入和不同长度，基数从 10 改为 2。
先说清契约，再独立实现进入本单元 ↗
UNIT 03存在与索引
#217 存在重复元素
- 保存的状态
- 集合保存已经扫描过的元素值。
- 查询与更新
- 先判断当前值是否已出现，再记录当前值。
- 正确性契约
- 集合恰好表示当前元素之前的历史值。
- 边界与增量
- 空历史不产生重复，不能先写入再查询自己。
迁移 · #219 存在重复元素 II重复元素 II 要记录最近索引，并检查索引差是否不超过 k。
先说清契约，再独立实现进入本单元 ↗
UNIT 04存在与索引
#1 两数之和
- 保存的状态
- 映射保存历史元素值对应的索引。
- 查询与更新
- 先查询目标补数，再写入当前值和索引。
- 正确性契约
- 候选搭档来自之前的元素，不会让同一索引匹配自己。
- 边界与增量
- 两个相同数可以来自不同索引；重复键仍须保证合法配对。
迁移 · #167 两数之和 II - 输入有序数组有序输入可改用相向指针，利用单调性排除整批数对。
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UNIT 05频次与一致性
#242 有效的字母异位词
- 保存的状态
- 字符到剩余数量的频次表。
- 查询与更新
- 建立第一个字符串的库存，再消耗第二个字符串的字符。
- 正确性契约
- 处理过程中，表中数量表示尚未匹配的字符余额。
- 边界与增量
- 长度不同或消耗不足即失败；数量不能只用存在性代替。
迁移 · #383 赎金信赎金信允许库存剩余，条件从数量相等改为库存足够。
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UNIT 06频次与一致性
#205 同构字符串
- 保存的状态
- 两个方向的字符映射。
- 查询与更新
- 检查历史配对是否冲突，再同时建立正向与反向关系。
- 正确性契约
- 每个源字符只对应一个目标字符，目标字符也不能被不同源占用。
- 边界与增量
- 仅维护单向映射不能保证一一对应。
迁移 · #290 单词规律单词规律把目标字符改成单词，仍需双向一致性。
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UNIT 07等价类与状态图
#49 字母异位词分组
- 保存的状态
- 规范化字符频次键到单词列表的映射。
- 查询与更新
- 为每个单词构造稳定的等价类键，再归入对应分组。
- 正确性契约
- 同组单词的字符数量完全相同，不同组的键不同。
- 边界与增量
- 键必须可哈希，不能把不同字符或频次混在一起。
迁移 · #890 查找和替换模式模式匹配的等价性改为首次出现位置结构，而非字符数量。
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UNIT 08等价类与状态图
#128 最长连续序列
- 保存的状态
- 所有不同数值组成的集合。
- 查询与更新
- 仅从不存在前驱的数值出发，沿连续后继扩展。
- 正确性契约
- 每段连续整数链只从唯一的最小值开始处理。
- 边界与增量
- 重复值不增加长度，输入中的相邻位置不等于数值连续。
迁移 · #674 最长连续递增序列连续递增序列依赖原数组的相邻顺序，因此改为线性段扫描。
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UNIT 09等价类与状态图
#202 快乐数
- 保存的状态
- 当前整数状态与已经出现过的状态集合。
- 查询与更新
- 生成各位平方和；到达 1 则成功，遇到历史状态则检测到循环。
- 正确性契约
- 每次转换都是确定性的，重复状态意味着未来轨迹重复。
- 边界与增量
- 记录的是完整数值状态，而非某一个数位。
迁移 · #141 环形链表环形链表把数值转换换成 next 后继，可用快慢指针检测循环。
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UNIT 10组合与多维约束
#454 四数相加 II
- 保存的状态
- 左侧两个数组的配对和及其出现频次。
- 查询与更新
- 先统计左半配对和，再查询右半配对和所需的相反数。
- 正确性契约
- 每次命中增加的是索引组合数量，而非只增加一个不同数值。
- 边界与增量
- 重复值仍代表不同索引组合；计数和去重是不同任务。
迁移 · #15 三数之和三数之和要求返回唯一数值三元组，需要排序与去重。
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UNIT 11组合与多维约束
#560 和为 K 的子数组
- 保存的状态
- 当前前缀和与历史前缀和频次。
- 查询与更新
- 查询与当前前缀相差 k 的历史数量，再记录当前前缀。
- 正确性契约
- 历史表包含虚拟零前缀及当前元素之前的所有前缀。
- 边界与增量
- 负数使普通滑窗失效；先记录当前前缀会误计空区间。
迁移 · #974 可被 K 整除的子数组整除子数组改为按余数分组，统一负数余数的表示。
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UNIT 12组合与多维约束
#36 有效的数独
- 保存的状态
- 每一行、每一列、每一宫已经出现的数字。
- 查询与更新
- 跳过空格，同时检查三个范围，再同步记录数字。
- 正确性契约
- 所有已处理的非空格在行、列、宫中均无重复。
- 边界与增量
- 校验已有数字不代表棋盘一定能求解。
迁移 · #37 解数独解数独增加候选选择与撤销，从静态校验升级为约束搜索。
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认知任务 1
把整数看成可以逐位消费的状态
点击下一步，观察 1234 如何通过 % 10 取出最低位，再通过 // 10 删除最低位。
数值与哈希实验台状态 1 / 5
1234 仍是一个整体；下一步将执行 digit = number % 10。
补全一个同时维护 seen 与 frequency 的扫描器只填 4 个关键表达式
from typing import List, Optional, Tuple, Dict
def summarize(values: List[int]) -> Tuple[Optional[Tuple[int, int]], Dict[int, int]]:
seen = set()
frequency = {}
first_duplicate = None
for index, value in enumerate(values):
appeared_before =
frequency[value] = frequency.get(value, 0) +
if appeared_before and first_duplicate is None:
first_duplicate = (value, )
return first_duplicate, frequency
代码—输入—seen—frequency 联动1 / 1
index / value尚未扫描
appeared_beforeNone
seenset()
frequency{}
first_duplicateNone
进入函数，尚未读取任何元素。
迁移目标：LeetCode #9 回文数
这不是直接要求你从空白写完整代码。先连接 Unit 00 的“数位提取”，再识别新增状态，随后用槽位拼接算法，最后运行拼接结果观察变量轨迹。
LeetCode #9｜回文数｜Palindrome Number
标签：数学 · 数位处理
原题
给你一个整数 x。如果 x 正序和倒序读都相同，返回 true；否则返回 false。
- 不能改变回文数的定义；
- 进阶要求：不把整数转换成字符串；
- 负数不是回文数，非零且末位为 0 的整数也不可能是回文数。
class Solution:
def isPalindrome(self, x: int) -> bool:
pass
示例与约束
输入：x = 121
输出：true
输出：true
输入：x = -121
输出：false
输出：false
输入：x = 10
输出：false
输出：false
-2³¹ ≤ x ≤ 2³¹ - 1
先复用已经学过的动作
Unit 00 已掌握
x % 10 取出最低位；x //= 10 删除最低位。
→
#9 新目标
把取出的右半数位逆序拼成 reversed_half，再与剩余左半比较。
迁移不是换数字重新做，而是复用同一个“逐位消费”操作，并新增“右半部分状态”。
本题相对数位实验新增了什么？
| Unit 00 数位实验 | LeetCode #9 |
|---|---|
number：尚未消费的数位 | x：尚未消费的左半部分 |
digit：本轮最低位 | digit：加入反转右半部分 |
| 只观察提取结果 | reversed_half：保存已提取数位的逆序 |
| 直到 number == 0 | 只处理到 x <= reversed_half |
先反转一半可以减少工作。奇数位数字最终需要忽略 reversed_half 的中间位。
把算法片段放入正确槽位
先点击左侧片段，再点击右侧目标槽位。每个槽位只接收一个片段；可随时清空重拼。
代码片段
执行顺序
运行你拼出的算法，再补关键表达式
当前 x—
reversed_half—
本轮 digit—
判断结果尚未运行
槽位拼接正确后可运行。
关键表达式补全
阶段 1 / 6 · 可随时点击顶部阶段返回
Unit 00 Skill：先设计状态，再选择数据结构
当题目要求反复判断历史信息时，不要先问“是不是哈希题”，而要先写清楚：键代表什么、值代表什么、相同键意味着什么，以及查询与更新谁先发生。
数位触发信号处理整数每一位、反转数位、传播进位
set 触发信号只需判断某值以前是否出现过
dict 触发信号还要保存索引、次数、配对对象或候选集合
规范化键不同输入需要被归入同一等价类
前缀状态区间性质可写成两个历史状态的关系
关键顺序Query Old State → Produce Result → Update State
完成后页面会停留在这里
不会倒计时，也不会自动进入 Unit 01。你可以复习任一阶段、继续运行迁移轨迹，或在准备好后手动进入下一题。