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📚 本章内容

本章介绍积分学的核心概念：不定积分（原函数）、定积分（曲线下面积）、以及多重积分。积分是导数的逆运算，在物理、工程、经济等领域有广泛应用。

18.1

不定积分

18.2

定积分

18.3

多重积分

18.1 不定积分：导数的逆运算

在微积分中，如果我们知道函数的导数，那么反过来求原函数的过程就叫做积分。不定积分也称为原函数或反导数。

如果函数 F(x) 的导数等于 f(x)，即 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 就是 f(x) 的一个原函数。

不定积分的定义

函数 f(x) 的不定积分记作：

∫ f(x) dx = F(x) + C

公式 (1)

说明：

• ∫ 称为积分号
• f(x) 称为被积函数
• x 称为积分变量
• dx 称为微分记号
• F(x) + C 称为 f(x) 的不定积分
• C 为任意常数，称为积分常数

⚠️ 重要：由于常数的导数为 0，所以原函数有无穷多个，它们之间相差一个常数 C。

不定积分与导数的关系

积分与导数互为逆运算：

d/dx [∫ f(x) dx] = f(x)

先积分后求导

∫ [dF(x)/dx] dx = F(x) + C

先求导后积分

公式 (2)

基本积分公式

以下是常用函数的不定积分公式（可通过求导验证）：

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)

幂函数积分

∫ 1/x dx = ln|x| + C

倒数函数积分

∫ e^x dx = e^x + C

指数函数积分

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

正弦函数积分

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

余弦函数积分

公式 (3)

举个例子

求函数 f(x) = 3x² + 2x 的不定积分。

解：

∫ (3x² + 2x) dx

= ∫ 3x² dx + ∫ 2x dx

= 3∫ x² dx + 2∫ x dx

= 3 · x³/3 + 2 · x²/2 + C

= x³ + x² + C

验证：对结果求导：d/dx(x³ + x² + C) = 3x² + 2x = f(x) ✓

积分的线性性质

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

和的积分

∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx

常数倍的积分

公式 (4)

不定积分探索器

观察原函数族（F(x) + C），理解积分常数C的作用

选择函数

积分常数 C

C = 0.0

改变C值，观察原函数曲线的垂直平移

显示选项

显示被积函数 f(x)

被积函数是原函数的导数

当前积分

f(x) = x²

∫ x² dx = x³/3 + C

💡 关键概念

原函数族：所有原函数相差一个常数C

验证方法：对F(x)+C求导，应得到f(x)

几何意义：C控制曲线的垂直位置

18.2 定积分：曲线下的面积

定积分是积分学中的核心概念，它给出了曲线与 x 轴之间的有向面积。定积分的几何意义是求曲线 y = f(x) 在区间 [a, b] 上与 x 轴围成的面积。

定积分的定义

函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分记作：

∫_a^b f(x) dx

其中 a 为下限，b 为上限

公式 (5)

几何意义：定积分的值等于曲线 y = f(x) 与 x 轴、直线 x = a 和 x = b 围成的有向面积。 x 轴上方的面积为正，下方的面积为负。

定积分的几何意义

图 1. 定积分的几何意义：曲线下的面积

牛顿-莱布尼茨公式

这是联系定积分与不定积分的桥梁，也称为微积分基本定理：

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

其中 F(x) 是 f(x) 的任一原函数

公式 (6)

简记为：∫_a^b f(x) dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)

意义：这个公式表明，计算定积分只需要找到原函数，然后用上限值减去下限值即可，而不需要真正计算极限。

举个例子

计算定积分 ∫₀² x² dx

解：

步骤 1：找原函数：∫ x² dx = x³/3 + C

步骤 2：应用牛顿-莱布尼茨公式：

∫₀² x² dx = [x³/3]₀²

= 2³/3 - 0³/3

= 8/3

几何解释：这个值 8/3 ≈ 2.667 表示曲线 y = x² 在区间 [0, 2] 上与 x 轴围成的面积。

定积分的性质

∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

线性性质

∫_a^b k·f(x) dx = k·∫_a^b f(x) dx

常数倍性质

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

区间可加性

∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx

上下限交换

公式 (7)

定积分可视化

观察函数曲线下的面积，理解定积分的几何意义

选择函数

积分区间

下限 a = 0.0

上限 b = 1.0

定积分公式

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)

F(x)是f(x)的原函数

特殊积分

高斯积分：

∫₋∞^∞ e⁻ˣ² dx = √π

误差函数：

erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e⁻ᵗ² dt

Riemann和近似

用矩形面积和近似定积分，观察不同取样方法的效果

中点Riemann和

近似值: 0.3325 | 真实值: 0.3333 | 误差: 0.0008

选择方法

分割数量

N = 10

分割越多，近似越精确

公式

左端点：

Σ f(xᵢ)·Δx

中点：

Σ f((xᵢ+xᵢ₊₁)/2)·Δx

右端点：

Σ f(xᵢ₊₁)·Δx

精度对比

中点法：通常最准确

左/右端点：精度相当

N→∞：都收敛到真值

18.3 多重积分：高维空间的体积

多重积分是一元定积分向多元函数的推广。二重积分计算曲面下的体积，三重积分计算空间区域的"超体积"。

二重积分

设 f(x, y) 是定义在平面区域 D 上的二元函数，则二重积分定义为：

∬_D f(x, y) dA = ∬_D f(x, y) dx dy

公式 (8)

几何意义：二重积分表示曲面 z = f(x, y) 与 xy 平面在区域 D 上围成的立体体积。

计算方法：累次积分（Iterated Integration）

如果 D = [a, b] × [c, d]（矩形区域），则：

∬_D f(x, y) dx dy = ∫_c^d [∫_a^b f(x, y) dx] dy

二重积分的几何意义

图 2. 二重积分的几何意义：曲面下的体积

举个例子

计算二重积分 ∬_D (x + y) dx dy，其中 D = [0, 1] × [0, 2]

解：

∬_D (x + y) dx dy = ∫₀² [∫₀¹ (x + y) dx] dy

先计算内层积分（对 x）：

∫₀¹ (x + y) dx = [x²/2 + xy]₀¹ = 1/2 + y

再计算外层积分（对 y）：

∫₀² (1/2 + y) dy = [y/2 + y²/2]₀²

= (2/2 + 4/2) - 0 = 1 + 2

= 3

三重积分

三重积分是二重积分向三维空间的推广：

∭_V f(x, y, z) dV = ∭_V f(x, y, z) dx dy dz

公式 (9)

应用：三重积分常用于计算空间物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

二重积分可视化

观察曲面下的立体体积，理解二重积分的几何意义

体积 = 0.6665

选择曲面

积分区域 D

x 下限: 0.0

x 上限: 1.0

y 下限: 0.0

y 上限: 1.0

显示选项

显示网格

二重积分公式

∬_D f(x,y) dA

= ∫_c^d [∫_a^b f(x,y) dx] dy

💡 理解要点

几何意义：曲面与xy平面围成的体积

计算方法：累次积分（逐次积分）

积分次序：可以先对x后对y，或反之

18.4 高斯函数积分

高斯函数积分有自己的名字——高斯积分（Gaussian integral）。

前文提过，高斯函数和高斯分布（Gaussian distribution）联系紧密：因此，高斯积分在概率统计中也有扮演重要角色。

➡️

本章想从几何视角和大家聊聊有关高斯积分的一些重要性质，这部分内容和本系列丛书后续内容高斯分布有着密切联系。

对于一元高斯函数积分，请大家首先留意如下积分结果：

∫_-∞^∞ exp(-x²) dx = √π

公式 (6)

如图 8 所示，高斯函数 f(x) = exp(-x²) 和整个 x 轴围成的面积为 √π。再次强调，虽 8 中高斯函数趋向正、负无穷时，函数值无限接近 0，但是达不到 0。

图 8. 高斯函数积分无穷积分重积

定积分

再举个定积分的例子。给定如下积分上下限，计算高斯函数定积分：

∫_-0.5¹ exp(-x²) dx ≈ 1.208

公式 (7)

图 9. 高斯函数定积分

前文提过不定积分存在的话，函数的不定积分结果是函数。比如，对高斯函数从 -∞ 积分到 x 得到：

F(x) = ∫_-∞^x exp(-t²) dt

公式 (8)

图 10 中蓝色曲线所示为上述高斯积分 F(x) 随 x 变化。

⚠️ 注意：高斯函数没有解析解。

这样 (7) 可以用 F(x) 计算如下定积分：

∫_-0.5¹ exp(-x²) dx = F(1) - F(-0.5) ≈ 1.633 - 0.425 = 1.208

公式 (9)

图 10 所示为利用 F(x) 计算 (7) 定积分原理。

图 10. 用 F(x) 计算高斯定积分

另外注意下面这个积分公式：

∫_-∞^∞ (1/√(2π)) exp(-x²/2) dx = 1

公式 (10)

看到这个公式，大家是否联想到一元标准正态分布概率密度函数 PDF。分母上为 √(2π) 作用是归一化，也就是让函数和整个横轴围成的面积为 1。这解释了为什么高斯分布概率密度函数的分母上有 √(2π) 这个缩放系数。

18.5 误差函数

上一节提过高斯函数没有解析解，也就是说下述积分没有初等函数的解析表达式。

F(x) = ∫_-∞^x exp(-t²) dt

公式 (11)

既然没有解析解，只好为其取一个名字并直接拿它做特殊函数使用，这个函数就是误差函数（error function），用 erf(x) 代表。误差函数定义如下：

erf(x) = (2/√π) ∫₀^x exp(-t²) dt

公式 (12)

💡 注意：上述定积分下限从 -∞ 变成 0；

积分前面还多了一个系数 2/√π。

如图 11 所示，误差函数 erf(x) 是奇函数，关于原点对称；且当 x → ∞ 时，erf(x) → 1；当 x → -∞ 时，erf(x) → -1。

图 11. 误差函数曲线

18.6 二重积分详解

18.3 节简单讨论了多重积分。本节进一步说明二重积分。

直角坐标系中的二重积分

对于二元函数 f(x,y)，二重积分计算如下：

∬_D f(x,y) dA = ∫_y₁^y₂ ∫_x₁^x₂ f(x,y) dx dy

公式 (13)

其中 D 为积分区域，dA 代表面积微元。二重积分可以理解为先对 x 积分，然后对 y 积分，或者反过来。

💡 几何意义：二重积分表示曲面 z = f(x,y) 与 xy 平面之间的体积。

图 12. 二重积分表示曲面下的体积

极坐标系中的二重积分

当积分区域具有圆形对称性时，使用极坐标系会更方便。极坐标变换如下：

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

dA = r dr dθ

公式 (14)

⚠️ 重要：极坐标系中，面积微元 dA = r dr dθ，多了一个 r 因子，这是雅可比行列式的结果。

因此，极坐标系中的二重积分为：

∬_D f(x,y) dA = ∫_θ₁^θ₂ ∫_r₁^r₂ f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ

公式 (15)

图 13. 极坐标系中的扇形积分区域

计算示例

例题：计算圆形区域 x² + y² ≤ 1 上的二重积分：

∬_D (x² + y²) dA

解法：使用极坐标系，令 x = r cos θ，y = r sin θ，则：

∬_D (x² + y²) dA = ∫₀^2π ∫₀¹ r² · r dr dθ

= ∫₀^2π ∫₀¹ r³ dr dθ

= ∫₀^2π [r⁴/4]₀¹ dθ

= ∫₀^2π (1/4) dθ

= (1/4) · 2π = π/2

公式 (16)

✓ 结论：通过极坐标变换，原本复杂的二重积分变得简单易算。这展示了选择合适坐标系的重要性。

章节总结

关键要点

∫

不定积分

原函数/反导数

∫ᵃᵇ

定积分

曲线下面积

∬∭

多重积分

体积与高维

核心概念

▸不定积分是导数的逆运算，结果包含任意常数 C
▸定积分给出有向面积，通过牛顿-莱布尼茨公式计算
▸二重积分计算曲面下体积，三重积分用于空间问题
▸微积分基本定理联系了微分与积分

🎯 实际应用

物理学

位移、速度、加速度的关系；功、能量的计算；电荷分布与电场强度。

工程学

结构受力分析、流体力学、热传导问题的求解。

经济学

消费者剩余、生产者剩余的计算；资本积累模型。

概率统计

连续随机变量的概率分布、期望值和方差的计算。