UNIT 01指针角色
#125 验证回文串
- 候选空间
- 首尾尚未比较的有效字符对。
- 安全移动
- 跳过非字母数字字符，再比较两端并同时向内移动。
- 循环不变量
- 区间外已经比较的有效字符对都相同。
- 边界检查
- 大小写归一；过滤后为空也满足回文。
迁移 · #680 验证回文串 II允许删除一个字符时，第一次冲突需要分别验证跳过左端或右端。
先说清契约，再独立实现进入本单元 ↗
Python算法训练序列
双指针前置心智模型 · Unit 00
双指针不是“两个变量”，
而是一条压缩候选空间的路径。
本单元只训练一个核心能力：每次移动指针时，你都必须能指出——哪些候选因此被排除，以及为什么这些候选全部不可能成为答案。
CHAPTER 02 / THE COGNITIVE ATLAS
第 2 章 · 认知梯度全景图
双指针与滑动窗口：用指针的移动与窗口的伸缩，组织有序的搜索过程。
贯穿本章的统一框架定义候选空间 → 证明移动安全 → 维护不变量。两个指针的语义决定能排除哪些候选。
从基础到复合任务，每一步增加一种决策
这里的梯度描述认知任务的递进，不等同于题库的难度标签。点击题目可进入对应单元。
起点 · Unit 00 双指针与窗口的心智模型。先理解状态、操作与不变量，再沿下列路线练习。
- 01
- 02
- 03
- 04
每道题在框架中的具体形式
用同一组问题定位每个单元，再观察迁移题改变了哪个条件。进入写代码环节后，学习地图会收起，留出独立思考的空间。
UNIT 02指针角色
#283 移动零
- 候选空间
- 已写入的非零前缀与尚未读取的后缀。
- 安全移动
- 读指针扫描，非零元素放入写指针位置，再前移写指针。
- 循环不变量
- 已写前缀保持非零元素原始相对顺序。
- 边界检查
- 最终补零；读写指针不能因零元素同时前进。
迁移 · #27 移除元素移除元素把“零”改为指定值，并返回有效前缀长度。
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UNIT 03单调性与降维
#167 两数之和 II
- 候选空间
- 有序数组中尚未排除的索引数对。
- 安全移动
- 和太小舍弃左端候选，和太大舍弃右端候选。
- 循环不变量
- 若存在解，至少一组合法数对仍在当前范围内。
- 边界检查
- 两个索引必须不同，题目要求的下标起点需转换。
迁移 · #2824 统计和小于目标的下标对数目统计小于目标的数对时，一次安全移动可以累计整批合法搭档。
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UNIT 04单调性与降维
#15 三数之和
- 候选空间
- 固定首元素后的有序数对空间。
- 安全移动
- 外层固定一个数，内层相向搜索，并跳过重复数值。
- 循环不变量
- 每轮内层搜索只处理当前首元素，输出三元组不重复。
- 边界检查
- 三索引互异；外层与两端均须处理重复。
迁移 · #16 最接近的三数之和最接近三数和维护全局差值，不能只记录精确命中。
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UNIT 05窗口状态
#3 无重复字符的最长子串
- 候选空间
- 右端扩展、左端按需收缩的字符串区间。
- 安全移动
- 新字符造成重复时，收缩到窗口内重新无重复。
- 循环不变量
- 更新最长长度时，窗口内每个字符至多出现一次。
- 边界检查
- 集合与最近索引两种表示不同，左端不能倒退。
迁移 · #209 长度最小的子数组最小长度子数组把去重约束换成和达到目标，且改为求最短。
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UNIT 06窗口状态
#438 找到字符串中所有字母异位词
- 候选空间
- 长度等于模式长度的字符窗口。
- 安全移动
- 滑入新字符、滑出旧字符，比较窗口与模式频次。
- 循环不变量
- 每次判定时频次仅表示当前定长窗口。
- 边界检查
- 模式比文本长时无候选；不能只比较字符集合。
迁移 · #567 字符串的排列字符串的排列从返回所有起点改为找到一个即返回。
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UNIT 07目标与计数
#209 长度最小的子数组
- 候选空间
- 正数数组中和达到目标的连续区间。
- 安全移动
- 先扩张到有效，再持续收缩并记录最短有效长度。
- 循环不变量
- 记录答案时当前窗口和达到目标，收缩后仍须重新验证。
- 边界检查
- 依赖元素为正数；不存在有效区间时返回规定的空结果。
迁移 · #713 乘积小于 K 的子数组乘积小于 k 改为先恢复合法窗口，再累计以当前右端结尾的区间。
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1. 看见候选空间
2. 一次排除一整列
3. 一次排除一整行
4. 错误移动会丢失答案
5. 从O(n²)到O(n)
numbers = [1,2,4,6,8,11]，target = 10准备观察
numbers[left]1
+
numbers[right]11
=
current_sum12
12 > 10：当前和偏大
全部候选数对矩阵
尚未排除
当前比较
已证明不可能
真实答案
这一帧到底证明了什么？
循环不变量
如果答案尚未找到，那么至少一个答案仍位于蓝色未排除区域中。
移动的合法性
只有当一整行或一整列都能被证明不可能时，对应端点才可以安全移动。
left / right0 / 5
当前和12
剩余候选15
已排除候选0
路径步数0
Unit 00 最终心智模型
双指针算法的本质不是“从两边开始试数”，而是用两个边界描述尚未排除的候选空间。每次移动都必须伴随一批候选被证明不可能；正确性来自不变量，线性复杂度来自两个边界只沿一个方向移动。
暴力枚举
6个元素产生15个候选数对。一般情况下需要检查约n(n-1)/2个格子。
双指针路径
这里只走了3个状态，每一步删除一整行或一整列。一般情况下left和right总移动次数不超过2n。
(1,11)=12
(1,8)=9
(2,8)=10
下一单元：LeetCode #125 验证回文串
Unit 01 会把“候选区间与安全移动”迁移到字符串镜像比较：无效字符为什么可以跳过、有效字符相等后为什么可以同时收缩两端。