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“真是耐人寻味，一门以赌博为起点的学科本应该是人类知识体系中最重要研究对象。”

—— 皮埃尔-西蒙-拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) | 法国著名天文学家和数学家 | 1749~1827

3.1

无处不在的概率

从孟德尔豌豆到道尔顿色盲

自然界的随机无处不在——没有两朵完全一样的鸢尾，没有两片完全一样的雪花，也没有两个完全一样的人生轨迹。而概率则试图量化随机事件发生的可能性。

🌱孟德尔的豌豆实验

孟德尔 (Gregor Mendel, 1822~1884) 在修道院蔬菜园里进行了大量豌豆杂交实验。

第一代杂交 (F1)

纯种圆粒 (RR) × 纯种皱粒 (rr) → 全部圆粒 (Rr)

第二代自交 (F2)

Rr × Rr → 3:1 比例 (3圆粒 : 1皱粒)

🟢

25%

🟢

50%

🟢

(杂合)

🟤

25%

💡 这个精确的 3:1 比例揭示了基因遗传的离散性——这正是古典概率模型的应用！

👁️道尔顿发现红绿色盲

道尔顿 (John Dalton, 1766~1844) 给母亲买了一双他认为是"棕灰色"的袜子，母亲却说是"樱桃红"。这让他发现了红绿色盲的遗传规律。

情况 A：色盲女性 × 正常男性

👦

儿子：100% 色盲

👧

女儿：100% 携带者

情况 B：携带者女性 × 正常男性

正常儿子

25%

色盲儿子

25%

正常女儿

25%

携带者女儿

25%

💡 这就是条件概率的应用——给定性别条件，发病概率不同！

概率 (Probability)

量化随机事件发生的可能性，取值范围 [0, 1]。

条件概率

在已知某些信息条件下，对事件发生概率的更精确估计。

🔬从微观到宏观的视角转换

微观/少量/短期

• 不确定
• 不可预测
• 随机

宏观/大量/长期

• 确定性
• 可识别模式
• 统计规律

💡

概率的实际应用

• 医学诊断：根据症状计算患病概率
• 遗传咨询：预测后代遗传病风险
• 天气预报：降雨概率预测
• 金融决策：投资风险评估

✦

3.2

古典概率

离散均匀概率律

古典概型（等概率模型）是最经典的概率模型：基本事件数量有限，且每个基本事件发生的可能性相等。

Ω样本空间 (Sample Space)

定义

给定随机试验，所有可能结果构成的集合为样本空间 Ω

概率公理

Pr(Ω) = 1，Pr(∅) = 0

0 ≤ Pr(A) ≤ 1

任何事件 A 的概率在 0 到 1 之间

P等可能事件概率公式

设样本空间 Ω 由 n 个等可能事件构成：

Pr(A) = |A| / |Ω| = nₐ / n

其中 nₐ 为事件 A 包含的结果数量，n 为样本空间总结果数

🪙

抛一枚硬币

Ω = {0, 1}，|Ω| = 2

Pr(正面) = Pr(反面) = 1/2

🎲

掷一枚骰子

Ω = {1,2,3,4,5,6}，|Ω| = 6

Pr(1) = Pr(2) = ... = Pr(6) = 1/6

🪙🪙

抛两枚硬币

Ω = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}，|Ω| = 4

每种结果概率 = 1/4

🎲🎲

掷两枚骰子

Ω = 6×6 = 36 种结果

每种结果概率 = 1/36

🌸以鸢尾花数据为例

从 150 个鸢尾花样本中随机取一个，样本分为三类（各 50 个）：

C₁ Setosa

50/150

= 1/3

C₂ Versicolor

50/150

= 1/3

C₃ Virginica

50/150

= 1/3

Pr(C₁) = Pr(C₂) = Pr(C₃) = 1/3，三类等概率

🎮 古典概率模拟器

观察理论概率与试验概率的关系

选择试验

理论概率

1/2 = 0.5

每个结果的概率相等

样本空间 Ω

Ω = {0, 1}，|Ω| = 2

试验频率分布

古典概率：当所有结果等可能时，P(A) = |A| / |Ω|。试验概率通过重复试验验证理论预测，随着试验次数增加，频率趋近概率。

📐 理论概率

• 基于数学推导
• 假设所有结果等可能
• 使用公式 P(A) = |A|/|Ω|
• 精确值

🧪 试验概率

• 基于重复试验
• 统计频率作为估计
• 验证理论预测
• 随试验次数趋近真值

💡

大数定律预告

随着试验次数 n → ∞，试验频率会收敛到理论概率。这就是大数定律的核心思想，将在后续章节详细介绍。

✦

3.3

杨辉三角与概率

二项式展开、组合数

杨辉三角（帕斯卡三角）与古典概率模型有着深刻联系。二项式系数正是抛硬币各种结果的组合数。

🔺杨辉三角 (Pascal's Triangle)

121

1331

14641

15101051

(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aᵏ · bⁿ⁻ᵏ

第 n 行的数字就是二项式系数 C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n)

🪙抛硬币与杨辉三角

抛 n 枚硬币，正好出现 k 次正面的概率：

Pr(正面=k) = C(n,k) / 2ⁿ

例：抛 10 枚硬币

Pr(正好6次正面) = C(10,6)/2¹⁰

= 210/1024 ≈ 0.205

至少6次正面

Pr(≥6正面) = Σₖ₌₆¹⁰ C(10,k)/2¹⁰

= 386/1024 ≈ 0.377

🌳

二叉树视角

杨辉三角逆时针旋转90°可视为二叉树。每个节点向上/向下走对应正面/反面。

终点节点的路径数 = 该结果的组合数

📊

二项分布预告

当正面概率 p ≠ 0.5 时，概率公式变为：

Pr(k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ

🎮 杨辉三角与概率

探索二项式系数与抛硬币概率的关系

硬币数量 n = 6

210

杨辉三角第 6 行

C(6,0)=1

C(6,1)=6

C(6,2)=15

C(6,3)=20

C(6,4)=15

C(6,5)=6

C(6,6)=1

总和 = 2^6 = 64

理论概率公式

Pr(k正面) = C(n,k) / 2ⁿ

概率分布

k	0	1	2	3	4	5	6
C(n,k)	1	6	15	20	15	6	1
Pr(理论)	0.016	0.094	0.234	0.313	0.234	0.094	0.016

杨辉三角（帕斯卡三角）的第 n 行给出了抛 n 枚硬币各种结果的组合数。每个结果的概率 = 组合数 / 2ⁿ，这正是二项分布的基础。

📐组合数 C(n,k) 的性质

C(n,k) = C(n, n-k)

对称性

C(n,0) = C(n,n) = 1

边界值

Σ C(n,k) = 2ⁿ

每行之和

C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

递推关系

💡

从杨辉三角到二项分布

杨辉三角是理解二项分布的关键。当试验次数 n 很大时，二项分布会逼近正态分布——这就是中心极限定理的一个体现！

✦

3.4

事件之间的关系

集合运算与概率

事件可以看作样本空间的子集，因此事件之间的关系可以用集合运算来描述。

⚙️事件运算一览

∩积事件 (Intersection)

A ∩ B：A 和 B 同时发生

也称联合概率 Pr(A,B)

∪和事件 (Union)

A ∪ B：A 或 B 至少一个发生

Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)

−差事件 (Difference)

A − B：A 发生但 B 不发生

Pr(A−B) = Pr(A) − Pr(A∩B)

Ā对立事件 (Complement)

Ā = Ω − A：A 不发生

Pr(Ā) = 1 − Pr(A)

⊘互斥事件 (Mutually Exclusive)

如果 A ∩ B = ∅，则称 A 和 B 互斥（不相容），即两个事件不能同时发生。

互斥时的特殊公式

Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B)

对立事件是特殊的互斥

A ∩ Ā = ∅ 且 A ∪ Ā = Ω

🎮 事件集合运算

通过维恩图理解事件之间的关系

选择运算

概率公式

Pr(A ∩ B) = Pr(A, B)

积事件维恩图

掷骰子示例

事件 A

点数为奇数 {1,3,5}

事件 B

点数小于4 {1,2,3}

A ∩ B = {1,3}，Pr(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

事件运算基于集合运算。积事件(∩)表示"且"，和事件(∪)表示"或"，对立事件(Ā)表示"非"。互斥事件不能同时发生。

📐概率运算公式汇总

样本空间概率Pr(Ω) = 1

空集概率Pr(∅) = 0

对立事件Pr(Ā) = 1 − Pr(A)

加法公式Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A∩B)

互斥加法Pr(A∪B) = Pr(A) + Pr(B) (若A∩B=∅)

💡

集合运算与逻辑运算

• ∩ (交) 对应逻辑 与 (AND)
• ∪ (并) 对应逻辑 或 (OR)
• Ā (补) 对应逻辑 非 (NOT)

✦

3.5

条件概率

给定部分信息做推断

条件概率是在给定部分信息基础上对试验结果的推断。它是机器学习和数据科学中至关重要的概念！

📊条件概率公式

Pr(A | B) = Pr(A ∩ B) / Pr(B)

在 B 发生的条件下，A 发生的概率

Pr(A ∩ B)

A 和 B 的联合概率

Pr(B)

B 的边缘概率 (Pr(B) > 0)

💡关键理解：B 是新的样本空间

Pr(A|B) 可以理解为：B 成为了"新的样本空间" Ω_B！我们在 Ω_B 中计算 A∩B 的比例。

原始视角

在整个 Ω 中，Pr(A∩B) 和 Pr(B) 都是相对于 Ω 计算

条件视角

缩小到 B，在 B 中看 A∩B 占多少比例

Pr(A | B) = Pr(A∩B) / Pr(B)

给定 B 发生，A 的概率

Pr(B | A) = Pr(A∩B) / Pr(A)

给定 A 发生，B 的概率

🎮 条件概率可视化

理解"给定条件下"的概率计算

事件定义

B: 点数为奇数 {1,3,5}

C: 点数小于4 {1,2,3}

B∩C: {1,3}

选择条件

计算结果

Pr(C|B) = 2/3

≈ 0.667

样本空间 Ω = {1,2,3,4,5,6} → 新样本空间 B

公式推导

Pr(B) = |B|/|Ω|= 3/6 = 1/2

Pr(C) = |C|/|Ω|= 3/6 = 1/2

Pr(B∩C) = |B∩C|/|Ω|= 2/6 = 1/3

Pr(C|B) = Pr(B∩C)/Pr(B)= (1/3)/(1/2) = 2/3

关键理解：条件概率把"给定事件"变成了新的样本空间。 B = {1,3,5} 成为新Ω，在其中找满足C的比例。

条件概率 Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B) 表示在B发生的前提下A发生的概率。 B成为"新的样本空间"，我们在B中计算A∩B的比例。

🔗联合概率的分解（乘法公式）

从 A|B 分解Pr(A∩B) = Pr(A|B) × Pr(B)

从 B|A 分解Pr(A∩B) = Pr(B|A) × Pr(A)

推广到 n 个事件

Pr(A₁∩A₂∩...∩Aₙ) = Pr(A₁) × Pr(A₂|A₁) × Pr(A₃|A₁A₂) × ... × Pr(Aₙ|A₁...Aₙ₋₁)

💡

条件概率的应用

• 医学诊断：给定症状，患某病的概率
• 垃圾邮件检测：给定某些词，是垃圾邮件的概率
• 鸢尾花分类：给定花瓣尺寸，是某类的概率
• 贝叶斯推断：基于条件概率的核心框架

✦

3.6

贝叶斯定理

条件概率、边缘概率、联合概率的关系

👨‍🔬

托马斯·贝叶斯 (Thomas Bayes)

英国数学家 | 1702 ~ 1761

贝叶斯统计的开山鼻祖，以贝叶斯定理闻名于世。

贝叶斯定理贝叶斯派贝叶斯推断朴素贝叶斯贝叶斯回归

贝叶斯定理撑起机器学习、深度学习算法的半边天！它的基本思想是根据先验概率和新的证据来计算后验概率。

⭐ 贝叶斯定理核心公式

Pr(A|B) = Pr(B|A) × Pr(A) / Pr(B)

后验 Posterior似然 Likelihood先验 Prior证据 Evidence

Pr(A) 先验概率

在观测到 B 之前，对 A 的信念

Pr(B|A) 似然

假设 A 为真时，观测到 B 的可能性

Pr(B) 边缘概率/证据

观测到 B 的总概率（归一化因子）

Pr(A|B) 后验概率

观测到 B 之后，对 A 的更新信念

📊

Pr(B|A) × Pr(A)

= Pr(A∩B)

从 A 的角度看联合概率

🔄

Pr(A|B) × Pr(B)

= Pr(A∩B)

从 B 的角度看联合概率

✨

两者相等！

这就是贝叶斯定理的来源

🎮 贝叶斯定理可视化

理解先验、似然、后验之间的关系

调整概率值

先验 Pr(A)0.30

似然 Pr(B|A)0.70

边缘 Pr(B)0.40

后验概率

Pr(A|B) = 0.525

贝叶斯公式

Pr(A|B) = Pr(B|A)×Pr(A) / Pr(B)

概率关系图解

计算步骤

① 先验 Pr(A)0.30

② 似然 Pr(B|A)0.70

③ 联合 Pr(A∩B) = ①×②0.210

④ 边缘 Pr(B)0.40

⑤ 后验 Pr(A|B) = ③÷④0.525

理解：观测到 B 发生后，A 发生的概率从 30% 上升到 52.5%

贝叶斯定理将先验概率 Pr(A) 通过似然 Pr(B|A) 和证据 Pr(B) 更新为后验概率 Pr(A|B)。这是机器学习的核心思想之一！

🎲掷骰子示例

事件 A：偶数

{2,4,6}，Pr(A)=1/2

事件 B：奇数

{1,3,5}，Pr(B)=1/2

事件 C：小于4

{1,2,3}，Pr(C)=1/2

Pr(A∩C) = |{2}|/6= 1/6

Pr(C|A) = Pr(A∩C)/Pr(A)= (1/6)/(1/2) = 1/3

Pr(A|C) = Pr(A∩C)/Pr(C)= (1/6)/(1/2) = 1/3

📈

频率学派

• 概率 = 事件发生的频率
• 强调大量数据和随机抽样
• 使用假设检验和置信区间
• 适合大样本场景

🧠

贝叶斯学派

• 概率 = 主观信念的度量
• 结合先验知识和新证据
• 计算参数的后验分布
• 适合小样本/缺数据场景

💡

贝叶斯定理的核心思想

先验 + 证据 → 后验：我们对世界有初始信念（先验），当观测到新证据时，用贝叶斯定理更新信念（后验）。这正是机器学习从数据中学习的本质！

✦

3.7

全概率定理

穷举法

全概率定理本质上就是穷举法（枚举法）。将样本空间分割成互不相容的部分，然后累加各部分的贡献。

🧩样本空间的分割 (Partition)

假设 A₁, A₂, ..., Aₙ 互不相容，形成对样本空间 Ω 的分割，即每次试验 A₁, A₂, ..., Aₙ 中有且仅有一个发生。

A₁

A₂

+ ... +

Aₙ

Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ (i ≠ j) 且 A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = Ω

⭐ 全概率定理

Pr(B) = Σᵢ Pr(B | Aᵢ) × Pr(Aᵢ)

= Pr(B,A₁) + Pr(B,A₂) + ... + Pr(B,Aₙ)

Pr(B)

边缘概率 (Marginal)

Pr(B|Aᵢ)

条件概率 (Conditional)

Pr(B,Aᵢ)

联合概率 (Joint)

📤

正向：求 Pr(B)

已知各 Pr(Aᵢ) 和 Pr(B|Aᵢ)，求边缘概率 Pr(B)

Pr(B) = Σᵢ Pr(B|Aᵢ) × Pr(Aᵢ)

📥

反向：求 Pr(Aᵢ|B)

结合贝叶斯定理，已知 B 发生，反推各 Aᵢ 的概率

Pr(Aᵢ|B) = Pr(B|Aᵢ)×Pr(Aᵢ) / Pr(B)

🎮 全概率定理可视化

理解分割、穷举与边缘概率

分割 Ω 的先验概率

Pr(A₁)0.30

Pr(A₂)0.50

Pr(A₃) = 1 - Pr(A₁) - Pr(A₂)0.20

条件概率 Pr(B|Aᵢ)

Pr(B|A₁)0.60

Pr(B|A₂)0.40

Pr(B|A₃)0.20

全概率结果

Pr(B) = 0.420

样本空间 Ω 的分割

全概率公式展开

Pr(B) = Σᵢ Pr(B|Aᵢ) × Pr(Aᵢ) = Σᵢ Pr(B, Aᵢ)

Pr(B,A₁)=0.60 × 0.30=0.180

Pr(B,A₂)=0.40 × 0.50=0.200

Pr(B,A₃)=0.20 × 0.20=0.040

Pr(B)=0.180 + 0.200 + 0.040=0.420

反向推断：Pr(Aᵢ|B) = Pr(B,Aᵢ) / Pr(B)

Pr(A₁|B)

42.9%

Pr(A₂|B)

47.6%

Pr(A₃|B)

9.5%

全概率定理本质是穷举法：将样本空间 Ω 分割为互不相容的 A₁, A₂, ..., Aₙ，则 Pr(B) = Σ Pr(B|Aᵢ)×Pr(Aᵢ)。结合贝叶斯定理可反向求 Pr(Aᵢ|B)。

🔢三分割示例 (n=3)

Pr(B) = Pr(B,A₁) + Pr(B,A₂) + Pr(B,A₃)

= Pr(B|A₁)×Pr(A₁) + Pr(B|A₂)×Pr(A₂) + Pr(B|A₃)×Pr(A₃)

如图所示，A₁、A₂、A₃ 三个互不相容事件对 Ω 形成分割。事件 B 与每个 Aᵢ 都有交集，全概率定理将 B 的概率表示为这些交集概率的累加。

🔄全概率 + 贝叶斯 = 完整推断

① 全概率定理（正向）

Pr(B) = Σᵢ Pr(B|Aᵢ) × Pr(Aᵢ)

② 贝叶斯定理（反向）

Pr(Aᵢ|B) = Pr(B|Aᵢ)×Pr(Aᵢ) / Pr(B)

③ 代入合并

Pr(Aᵢ|B) = Pr(B|Aᵢ)×Pr(Aᵢ) / [Σⱼ Pr(B|Aⱼ)×Pr(Aⱼ)]

💡

全概率定理的直觉

想象你要计算"明天下雨"的概率。可以分情况讨论：晴天转阴的概率 × 晴天概率 + 阴天继续阴的概率 × 阴天概率 + ... 这就是穷举！

✦

3.8

独立、互斥、条件独立

三种重要的事件关系

互斥 ≠ 独立！这是概率论中最容易混淆的概念之一。理解它们的区别对于正确建模至关重要。

🔗独立 (Independent)

事件 B 发生与否，不会影响事件 A 发生的概率：

Pr(A | B) = Pr(A) && Pr(B | A) = Pr(B)

等价条件

Pr(A ∩ B) = Pr(A) × Pr(B)

联合概率 = 边缘概率的乘积

⊘互斥 (Mutually Exclusive / Disjoint)

事件 A 和事件 B 不能同时发生：

A ∩ B = ∅ → Pr(A ∩ B) = 0

⚠️ 互斥事件实际上高度相关！

Pr(A | B) = 0 ≠ Pr(A)（除非 Pr(A)=0）

知道 B 发生，A 必定不发生——这是强相关！

📊一般情况、互斥、独立对比

A 和 B	Pr(A∩B)	Pr(A∪B)	Pr(A\|B)	Pr(B\|A)
一般情况	Pr(B\|A)×Pr(A)	Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B)	Pr(A∩B)/Pr(B)	Pr(A∩B)/Pr(A)
互斥	0	Pr(A)+Pr(B)	0	0
独立	Pr(A)×Pr(B)	Pr(A)+Pr(B)-Pr(A)Pr(B)	Pr(A)	Pr(B)

🎮 独立 vs 互斥 vs 一般

理解三种事件关系的本质区别

选择关系类型

边缘概率

Pr(A)0.40

Pr(B)0.50

关键特征

Pr(A∩B) ≠ Pr(A)×Pr(B) 且 ≠ 0

维恩图 - 一般情况

概率计算

Pr(A ∩ B)

0.200

Pr(A ∪ B)

0.700

Pr(A | B)

0.400

Pr(B | A)

0.500

Pr(A|B) = 0.400 ≠ Pr(A) = 0.40
→ B 发生会影响 A 的概率

⚠️ 重要区分：互斥 ≠ 独立！互斥事件不能同时发生 (Pr(A∩B)=0)，而独立事件是 A 发生不影响 B 的概率 (Pr(A|B)=Pr(A))。互斥事件实际上是高度相关的——知道一个发生，另一个必不发生！

🎲🎲🎲抛三枚骰子：独立的经典例子

一次性抛三枚骰子，这三枚骰子点数互不影响，也就是"独立"。

Pr(X₁=3, X₂=3, X₃=3) = ?

= Pr(X₁=3) × Pr(X₂=3) × Pr(X₃=3)

= 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216

因为独立，联合概率 = 各边缘概率的乘积。这也是乘法分配律的体现！

🔀条件独立 (Conditionally Independent)

在给定事件 C 发生条件下，如果 A 和 B 独立，则称 A 和 B 在 C 条件下条件独立：

Pr(A ∩ B | C) = Pr(A | C) × Pr(B | C)

注意

• 独立 ⇏ 条件独立
• 条件独立 ⇏ 独立

💡

独立性在机器学习中的重要性

• 朴素贝叶斯假设特征条件独立
• 独立同分布 (i.i.d.) 是很多算法的基础假设
• 判断独立性可以大大简化概率计算

📝 本节小结

3.1 无处不在

孟德尔/道尔顿

3.2 古典概率

样本空间/等可能

3.3 杨辉三角

二项式/组合数

3.4 事件关系

集合运算/互斥

3.5 条件概率

Pr(A|B)/乘法

3.6 贝叶斯定理

先验/后验/似然

3.7 全概率定理

分割/穷举

3.8 独立与互斥

独立≠互斥

无处不在的概率

🌱孟德尔的豌豆实验

👁️道尔顿发现红绿色盲

概率 (Probability)

条件概率

🔬从微观到宏观的视角转换

概率的实际应用

古典概率

Ω样本空间 (Sample Space)

P等可能事件概率公式

抛一枚硬币

掷一枚骰子

抛两枚硬币

掷两枚骰子

🌸以鸢尾花数据为例

🎮 古典概率模拟器

📐 理论概率

🧪 试验概率

大数定律预告

杨辉三角与概率

🔺杨辉三角 (Pascal's Triangle)

🪙抛硬币与杨辉三角

二叉树视角

二项分布预告

🎮 杨辉三角与概率

📐组合数 C(n,k) 的性质

从杨辉三角到二项分布

事件之间的关系

⚙️事件运算一览

⊘互斥事件 (Mutually Exclusive)

🎮 事件集合运算

📐概率运算公式汇总

集合运算与逻辑运算

条件概率

📊条件概率公式

💡关键理解：B 是新的样本空间

🎮 条件概率可视化

🔗联合概率的分解（乘法公式）

条件概率的应用

贝叶斯定理

托马斯·贝叶斯 (Thomas Bayes)

⭐ 贝叶斯定理核心公式

🎮 贝叶斯定理可视化

🎲掷骰子示例

频率学派

贝叶斯学派

贝叶斯定理的核心思想

全概率定理

🧩样本空间的分割 (Partition)

⭐ 全概率定理

正向：求 Pr(B)

反向：求 Pr(Aᵢ|B)

🎮 全概率定理可视化

🔢三分割示例 (n=3)

🔄全概率 + 贝叶斯 = 完整推断

全概率定理的直觉

独立、互斥、条件独立

🔗独立 (Independent)

⊘互斥 (Mutually Exclusive / Disjoint)

📊一般情况、互斥、独立 对比

🎮 独立 vs 互斥 vs 一般

🎲🎲🎲抛三枚骰子：独立的经典例子

🔀条件独立 (Conditionally Independent)

独立性在机器学习中的重要性

📝 本节小结

3.1 无处不在

3.2 古典概率

3.3 杨辉三角

3.4 事件关系

3.5 条件概率

3.6 贝叶斯定理

3.7 全概率定理

3.8 独立与互斥

📊一般情况、互斥、独立对比