数学 + 艺术

艺术与生俱来。毕加索（Pablo Picasso）曾说"每个孩子都是艺术家"。 问题在于他长大后如何保持艺术家的本质。"几乎所有的孩子在学会读写之前都喜欢涂鸦， 这些行为本身都是在无序中创造有序，在无形中创造有形的艺术表达。"

没有艺术品可以完全原创，每一件艺术品都是艺术锁链上重要一环，它承前启后，是人类集体艺术体验、实践的一部分。 条条艺术锁链织成一张网，每件艺术品都有自己特殊的位置。这一点和数学极为相似， 代数、几何、线性代数、微积分、概率统计、优化方法等等，看似一个个孤岛，实际上都是数学网络的一条条经纬线， 它们也都是人类集体学习的一部分。

正如本书前言提到的，数学和音乐、绘画、建筑一样，都是人类艺术体验。通过可视化工具， 我们会在看似枯燥的公式、定理、数据背后，发现数学之美。

这一章要"形而上"地探讨艺术和数学之间存在着紧密的联系， 尽管它们在表现方式上看上去相去甚远。

人类执着于几何（geometry），就是因为物质世界本身就是个几何的世界。 数学中的几何学原理在艺术中发挥重要作用。艺术家使用几何形状、比例（比如黄金分割比）和对称来构建他们的作品， 创造出视觉上的平衡和美感。

有几何的地方，就有空间。人类绘画经历了从二维到三维的维度提升的过程，这是一个关于空间感知和透视的发展历程。 在早期的绘画中，艺术家主要关注表面的平面效果，追求形象的符号化和图像的象征性。 这些绘画作品通常是二维的，缺乏深度和透视感。然而，随着人类对空间感知的进一步理解， 艺术家开始尝试在画布上呈现更加真实的三维效果。

在文艺复兴时期，意大利艺术家们如达·芬奇（Leonardo da Vinci）和拉斐尔（Raphael）等开始系统地研究透视原理，并将其应用于绘画实践中。 此外，雕塑和建筑也是艺术中维度提升的重要领域。

计算机广泛应用之后，算法艺术应运而生。算法艺术是一种结合数学和艺术的领域， 艺术家使用计算机编程和算法来生成艺术作品。这些算法可以基于数学模型、随机性或交互性来创作艺术。

近些年AI的应用发展让艺术王国的版图为之震颤。Midjourney训练而成的鸢尾花， 本书扉页和半透明硫酸纸上展示的鸢尾花也都是出自Midjourney之手。

形而上者谓之道，形而下者谓之器。艺术和数学正是"道"，两者都着力于解构、重构，穿越事物的形，看透事物的神。 艺术和数学都有超强能力把事物肢解成基本单位，然后再重新组合构造全新的结构。

本书作者私以为"解构 + 重构"王者正是汉字。 明代画家石涛曾说"一画者，众有之本，万象之根。"而每一个方块字又何尝不是一幅画？

353年，"群贤毕至，少长咸集"，王羲之创作《兰亭集序》。意在笔先，力透纸背， 透过这些优雅的线条，跨越千年时至今日，我们依旧感受到几何的形、艺术的神、历史的线、文明的魂。

人法地，地法天，天法道，道法自然。艺术当然离不开人类天马行空的想象力，而给这些想象力持续赋能的沃土正是人类赖以生存的自然界。 自然界中，数字、数学可能就是万物之"道"。

黄金分割在自然界中广泛存在，如植物的分枝、螺旋壳的结构、人体的比例等，展现了数学和美的奇妙关联。斐波那契数列在自然界中也有许多出现，如植物的叶子排列、花瓣的排列、蜂窝的形状等。 这种数列展示了自然界中的规律和对称性。

植物的分枝结构常常呈现出分形的特征。例如，树枝、树叶的排列方式、花朵的形状等都可以看作是分形结构。 这种自相似性使得植物在各个尺度上都具有相似的形态，从整体到细节都呈现出美妙的几何模式。 有趣的是，观察菌丝我们发现的也是类似树枝分形的结构，从地球的尺度来看，拔地如云的树木也不过是地表上毫不起眼的菌丝。

海岸线和山脉的形状也呈现出分形特征。无论是放大还是缩小，它们的形态都是自相似的，具有相似的曲线和起伏。 云朵的形状和闪电的分支都可以被视为分形结构，它们在各个尺度上都具有相似的形态和分支模式，展现出自然界中的分形美。 雪花和冰晶是自然界中常见的分形形态，它们的晶体结构在多个尺度上具有相似的形状，形成了复杂而美丽的分形图案。

模式 + 随机，无处不在。模式让物质世界充满秩序，随机让整个寰宇满是精彩。小到一点浮尘、一片雪花、一朵浪花， 大到四季变化、动物迁徙、人类社会、满眼繁星。

自然界的草木却没有展现出高度完美的对称。世界上没有两片完全一样的叶子，也没有两片完全一样的雪花。 这一点正是"模式 + 随机"的数学体现。

英国著名植物学家罗伯特·布朗通过显微镜观察悬浮于水中的花粉， 发现花粉颗粒进裂出的微粒呈现出不规则的运动。他说，不断重复地观察这些运动给我极大的满足； 它们并非来自水流，也不是源于水的蒸发，这些运动的源头是颗粒自发的行为。

威尔逊·奥尔温·本特利（Wilson Alwyn Bentley）是一位美国的自然摄影师和雪花研究家， 他被誉为"雪花之父"，因为他是第一个成功地将雪花的照片拍摄下来的人。本特利对雪花的形态和结构产生了浓厚的兴趣， 并通过使用特制的显微摄影技术，捕捉到了超过5000张雪花的照片。在这5000张雪花照片中，他没有发现两片一样的雪花。

但是不管怎么样，大家可以在这些雪花中发现60度角、六边形这样的几何模式。这显然不是巧合， 究其本质，水分子是由一个氧原子和两个氢原子组成的，呈V字型结构。冰的晶体结构称为六方最密堆积结构。 在这种结构中，每个水分子与周围六个水分子相邻，并形成六边形的环状结构。这种紧密的排列方式使得冰晶体具有六边形的外观。

微风吹散蒲公英的种子，这些小小降落伞看似做着无规则的随机漫步，但是无时不刻不在气流的支配下运动。 宏观尺度上来看，丝丝缕缕的气流、形状各异云朵、极具破坏力的飓风，是在地球的公转和自转影响下运动。

人类之所以能够看到形状和色彩都离不开光。而光具有波粒二象性，表现出既有波动特性又有粒子特性， 这又是"模式 + 随机"的一个例子。某个时间观察特定的一只动物，我们很难发现任何特定规律、模式。 长期观察一群动物，我们可以发现四季轮转、草木荣枯支配着动物年复一年地在某个大陆板块的繁衍生息、迁徙移动。

生如夏花之绚烂，逝如秋叶之静美。每个人的一生不也是"模式 + 随机"相互作用的产物。生老病死、起点终点、前浪后浪， 这是没人能逃脱的"枷锁"的模式。而每个人都能活出自己，走出与众不同的人生轨迹，这便是"精彩"的随机。

一沙一世界，一花一天堂。无限掌中置，刹那成永恒。满天的繁星又何尝不在展现这种"模式 + 随机"。

仰观宇宙之大，俯察品类之盛。在科学技术的助力下，我们在微观尺度能够描绘电子轨迹，宏观尺度上能够观察天体运行。

据德国化学家凯库勒（August Kekulé）本人的著作称， 他梦中梦到一条蛇咬住了自己尾巴，从而得到启发得到苯环结构。 而鸢尾花书选取的编程语言Python本意也是蟒蛇，特别地，Anaconda的标识就是衔尾蛇。 这种冥冥之中的巧合耐人寻味。

我们身体的某个角落的某个电子在绕着某个原子在做近似椭圆的运动。而我们又乘着地球绕着太阳在椭圆的轨道上运行。 而以太阳为中心的太阳系又绕着银河系的中心公转，而银河系…… 这繁复的相互缠绕关系，让我们又想到了微观层面的DNA结构。宏观、微观，这条蛇再次地咬住了自己的尾巴。

那么，宇宙的图景到底怎样？在银河系的图景中，我们是否既看到了模式的确定，也看到了随机带来的不确定。 我们，我们赖以生存的暗淡蓝点，不过是奔流不息的宇宙长河中的一个个随机诞生的旋涡；随机灰飞烟灭，模式浩浩汤汤。

正如美国物理学家费曼所说，我，一个无数原子组成的宇宙，又是整个宇宙的一粒原子。地球，那个暗淡蓝点， 不过是银河系中的一粒沙子，我们又何尝不是蝼蚁。

换个角度来向，数字信息存储在一个个芯片中。这一个个芯片又何尝不是一个个数字"宇宙"！ 再疯狂一点，我们这个所谓的物质世界是否也是某个矩形芯片的模拟产物？光速仅仅是避免死机的保护机制？

难怪有人说，梵高笔下的星夜更接近真实的星空。带着这样的几何视角、动态思考，今晚大家不妨去夜观天象， 然后再看梵高的《星夜》中描绘的斗转星移，我们是否会觉得梵高的作画不再"疯狂"？

浮名浮利，虚苦劳神。叹隙中驹，石中火，梦中身。那个时代的梵高是否是举世皆浊我独清，众人皆醉我独醒？

爱因斯坦曾说，我们只是生存在宇宙中一颗非常普通恒星系中普通行星上的高级猴子。然而，我们能够理解宇宙， 这使得我们变得非常特殊。